Perpendicolare comune
ciao ragazzi, uno dei punti di un appello di geometria dice:
siano $r: 4x-y-z=1,2x+y+z=-1$ e $s=2x+z=1,y-3z=1$ due rette.
1) calcolare se possibile, la retta t perpendicolare comune ad r e s.
nessun problema, ho verificato che sono sghembe e calcolato la perpendicolare comune..
2) determinare la retta passante per il punto $P=(1/2,0,-1)$ che si appoggia ad $r$ ed $s$
ho pensato di calcolare il piano contente la retta r e passante per $P=(1/2,0,-1)$ tramite il fascio proprio di piani avente come asse la retta r e imponendo il passaggio per il punto. Idem con la retta s. la retta cercata quindi, secondo il mio ragionamento è data dall'intersezione di questi due piani? il ragionamento è corretto? non capisco cosa si intenda di preciso con "si appoggia ad $r$ ed $s$" ho anche verificato se il punto dato appartiene alla perpendicolare comune: in questo caso particolare suppongo che la stessa perpendicolare comune sia la retta che si appoggia alle due rette date, purtroppo P non appartiene alla perpendicolare comune.
qualcuno potrebbe darmi una mano? grazie mille in anticipo
siano $r: 4x-y-z=1,2x+y+z=-1$ e $s=2x+z=1,y-3z=1$ due rette.
1) calcolare se possibile, la retta t perpendicolare comune ad r e s.
nessun problema, ho verificato che sono sghembe e calcolato la perpendicolare comune..
2) determinare la retta passante per il punto $P=(1/2,0,-1)$ che si appoggia ad $r$ ed $s$
ho pensato di calcolare il piano contente la retta r e passante per $P=(1/2,0,-1)$ tramite il fascio proprio di piani avente come asse la retta r e imponendo il passaggio per il punto. Idem con la retta s. la retta cercata quindi, secondo il mio ragionamento è data dall'intersezione di questi due piani? il ragionamento è corretto? non capisco cosa si intenda di preciso con "si appoggia ad $r$ ed $s$" ho anche verificato se il punto dato appartiene alla perpendicolare comune: in questo caso particolare suppongo che la stessa perpendicolare comune sia la retta che si appoggia alle due rette date, purtroppo P non appartiene alla perpendicolare comune.
qualcuno potrebbe darmi una mano? grazie mille in anticipo
Risposte
Che si appoggia significa che le tocca entrambe. Puoi sfruttare il vettore direttore della retta perpendicolare comune. Infatti questo vettore è perpendicolare ad entrambi i vettori direttori delle due rette. Questa condizione ti permette di dire che qualunque retta parallela (aka con stesso vettore direttore) alla retta perpendicolare comune, è una perpendicolare alle due rette e quindi si appoggerà alle due rette. Ottiene l'equazione parametrica della retta cercata usando il passaggio per P e il vettore direttore che ti ho detto prima.
perfetto sei stato chiarissimo, grazie. posso approfittare per chiederti anche come determinare la proiezione ortogonale di un punto su un piano? allora ho un piano $pi$ un piano $rho$ paralleli tra di loro. mi si chiedi di calcolare la proiezione su $rho$ di un punto P appartenente a $pi$. calcolo la retta r passante per P e ortogonale a $pi$ (e quindi anche a $rho$) e trovare l'intersezione tra $rho$ ed r. il ragionamento è corretto?
la retta ortogonale avrà lo stesso vettore direzione di $rho$?
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