Permutazioni: verificare normalità sottogruppo
ciao a tutti, non riesco a capire come svolgere un punto di un esercizio:
sia $T$ il sottogruppo generato da $\tau=((1,2,3,4,5,6,7,8),(7,5,6,3,8,1,2,4))$, verificare se $T$ è normale in $S8$.
ho ragionato così: scompongo la permutazione $\tau$ in prodotto di trasposizioni, viene fuori: $\tau=(1,7,2,5,8,4,3,6)$ cioè $\tau$ è formata da un 8-ciclo, ciò significa che il sottogruppo generato da $\tau$ sarà di ordine 8 e sarà $T= <\tau> ={\tau^0,\tau^1,...,\tau^7}$ a questo punto non so più come proseguire. ho provato ad applicare la definizione $T$ è normale
$\leftrightarrow a^-1ha \in T, \forall a \in S8, \forall h \in T$ ma non ho ricavato niente.........
sia $T$ il sottogruppo generato da $\tau=((1,2,3,4,5,6,7,8),(7,5,6,3,8,1,2,4))$, verificare se $T$ è normale in $S8$.
ho ragionato così: scompongo la permutazione $\tau$ in prodotto di trasposizioni, viene fuori: $\tau=(1,7,2,5,8,4,3,6)$ cioè $\tau$ è formata da un 8-ciclo, ciò significa che il sottogruppo generato da $\tau$ sarà di ordine 8 e sarà $T= <\tau> ={\tau^0,\tau^1,...,\tau^7}$ a questo punto non so più come proseguire. ho provato ad applicare la definizione $T$ è normale
$\leftrightarrow a^-1ha \in T, \forall a \in S8, \forall h \in T$ ma non ho ricavato niente.........
Risposte
Un sottogruppo normale che contiene un $8$-ciclo, contiene
automaticamente ogni $8$-ciclo. Il tuo sottogruppo $T$ contiene sette
$8$-cicli, ma in $S_8$ ci sono molto di piu'. E quindi $T$ non e' normale in $S_8$.
automaticamente ogni $8$-ciclo. Il tuo sottogruppo $T$ contiene sette
$8$-cicli, ma in $S_8$ ci sono molto di piu'. E quindi $T$ non e' normale in $S_8$.
X rugrag: attento alla terminologia. La scomposizione in prodotto di trasposizioni non è la scomposizione in cicli disgiunti. Per esempio $\tau = (16)(13)(14)(18)(15)(12)(17)$.
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