Perchè una combinazione lineare è unica?

[ariannaaaa]

ho una combinazione lineare del tipo:
(1,0,0)=a(0,1,0)+b(1,-2,1)+c(1,0,1); ho trovato i tre scalari ma il quesito mi chiede motivare perchè la combinazione scalare è unica. Avevo pensato che è unica perchè l unico modo di ricavarmi i tre scalari mediante i tre vettori poichè sono linearmente indipendenti

[vict85]

Perché sono linearmente indipendenti è la risposta corretta. Lo sai dimostrare che la scomposizione di un vettore tramite vettori linearmente indipendenti è unica?

[ariannaaaa]

no...

[vict85]

"aryory":no...

ok... Mi sembra stano che non ci sia sul libro comunque... Invece di usare l'assurdo uso una dimostrazione identica ma più costruttiva, tanto per variare.

Consideriamo un vettore [tex]\mathbf{v}[/tex] e due, non necessariamente distinte, combinazioni lineari [tex]\mathbf{v} = \sum_{i=0}^n a_i\mathbf{e}_i[/tex] e [tex]\mathbf{v} = \sum_{i=0}^n b_i\mathbf{e}_i[/tex] che lo rappresentano allora [tex]\mathbf{0} = \mathbf{v}-\mathbf{v} = \sum_{i=0}^n a_i\mathbf{e}_i - \sum_{i=0}^n b_i\mathbf{e}_i = \sum_{i=0}^n (a_i - b_i)\mathbf{e}_i[/tex]. D'altra parte i vettori [tex]\{\mathbf{e}_i\}_{i\in I}[/tex] sono linearmente indipendenti e quindi [tex]a_i-b_i = 0[/tex] per ogni [tex]i[/tex]. Le due combinazioni lineari sono quindi uguali e quindi esiste un'unica combinazione lineare dei vettori [tex]\{\mathbf{e}_i\}_{i\in I}[/tex] che sia uguale al vettore [tex]\mathbf{v}[/tex].