Perché tutti gli insiemi sono compatti agli occhi miei?!

[giuscri]

Dato l'insieme $E:{\vec{x}\in\mathbb{R}; -1/3 \leq x^2 + y^2 < 1, x>0, y<0}$, si tratta di un tratto di circonferenza -precisamente, se centrata nell'origine, definita nel quarto quadrante?

Per il teorema di Heine-Borel, in $\mathbb{R^2}$, se l'insieme è chiuso e limitato, allora è compatto. $E$ è sicuramente limitato, ma non è chiuso -i punti d'accumulazione di $E$ non sono in E.

Tuttavia, se guardo il grafico direi immediatamente che $E$ è un compatto. Evidentemente esiste almeno 1 sottocopertura finita che non include tutto E. Ma qual è?!

Potrei forse pensare alle $B_(1/2)(p)$ con $p$ generico punto $\inE$: so che è una copertura aperta di E, ma non posso estrarne una sottocopertura finita. Ma questo non vale allora per tutti i cerchi -in $\mathbb{R^2}$?

Cosa mi cambia, in questo caso, che $E$ sia aperto o chiuso?

[vict85]

Prova a porti la domanda con l'aperto $(0,1)$... Considera le palle aperte centrate in $1/2$ con raggio \(\displaystyle \frac{n-1}{2n} \) con \(\displaystyle n\ge2 \). Evidentemente ricoprono $(0,1)$ ma non esiste un sottoricoprimento finito che lo fa.

Per quanto riguarda il tuo insieme è omeomorfo a questo intervallo e quindi puoi facilmente adattare questo esempio al tuo.

P.S: Il tuo esempio è sbagliato perché posso benissimo estrarne un sottoricoprimento finito.