Perchè mai tale endomorfismo non sarebbe diagonalizzabile?
Dunque in $R^3$ c'è questo sottospazio $A$ rappresentato dal sistema
$x-2y+z=0$
Esiste un endomorfismo diagonalizzabile avente $A$ come autospazio se l'insieme degli autovalori è ${1,2,-1}$?
Dunque io penso che il sistema omogeneo ha rango 1, per cui le dimensioni di $A=2$
Un endomorfismo è diagonalizzabile se il polinomio caratteristico è interamente decomponibile e la molteplicità algebrcia deve essere uguale alla molteplicità geometrica..
Dunque supponendo che ogni autovalore abbia molteplicità algebrica uguale a 2(al massimo) esisterebbe un endomorfimo diagonalizzabile avente $A$ come autospazio relativo agli autovalori citati( chiaramente presi uno alla volta)..
Ora la risposta corrette sarebbe rispondere subito no, perchè tale endomorfismo non esiste..eppure io non capisco perchè mai non esisterebbe..
$x-2y+z=0$
Esiste un endomorfismo diagonalizzabile avente $A$ come autospazio se l'insieme degli autovalori è ${1,2,-1}$?
Dunque io penso che il sistema omogeneo ha rango 1, per cui le dimensioni di $A=2$
Un endomorfismo è diagonalizzabile se il polinomio caratteristico è interamente decomponibile e la molteplicità algebrcia deve essere uguale alla molteplicità geometrica..
Dunque supponendo che ogni autovalore abbia molteplicità algebrica uguale a 2(al massimo) esisterebbe un endomorfimo diagonalizzabile avente $A$ come autospazio relativo agli autovalori citati( chiaramente presi uno alla volta)..
Ora la risposta corrette sarebbe rispondere subito no, perchè tale endomorfismo non esiste..eppure io non capisco perchè mai non esisterebbe..
Risposte
La cosa non riesce a risultarmi ovvia..
Perchè devono esserci 2 autovalori? L'autospazio non è relativo ad ogni singolo autovalore?
Perchè devono esserci 2 autovalori? L'autospazio non è relativo ad ogni singolo autovalore?
mmmmm..
il problema è che ogni volta che credo di aver capito c'è un esempio o un esercizio che contraddice l'idea che mi son fatto..pet esempio
dato uno spazio vettoriale $A$ su $R$ di dimensione 3 e fissato un riferimento $B=(b_1,b_2,b_3)$,
trovare un endomorfismo che abbia come autovalore 3 e che sia tale che:
$f(b_2)=b_3$ $f(b_1+b_2)=b_1+b_2$
Una volta trovato studiarne la diagonalizzabilità..
Ragionando come mi hai spiegato in precedenza la prima cosa che penso di fare è trovare la matrice associata all'End rispetto alla base $B$
Dunque dovrei trovare le immagini tramite $fepsilonEnd(A))$ dei vettori della base
Sfrttando la linearità $f(b_1)=b_1+b_2-f(b_2)$
Siccome $f(b_2)=b_3$ allora $f(b_1)=b_1+b_2-b_3$
Abbiamo trovato
$f(b_1)=b_1+b_2-b_3$ decomposta rispetto ai vettori di $B$ $(1,1,-1)$
$f(b_2)=b_3$ decomposta rispetto ai vettori di $B$ $(0,0,1)$
$f(b_3)=?$
ecco al momento in cui dovrei usare la condizione dell'autovalore mi blocco..
In pratica avevo pensato di scrivere l'immagine di $b_3$ in funzione di qualche parametro poi scrivere la matrice dell'endomorfismo con un paramatro e discuterne la diagonalizzabilità con quel parametro sfruttando il fatto che deve esserci un autovalore =3
Ammettendo che la decomposizione di $f(b_3)$ rispetto a $B$ sia genericamente $(a,c,d)$
scrivo la matrice
$[[1,0,a],[1,0,c],[-1,1,d]]$
A questo punto mi blocco sull'autovalore..insomma non riesco ad usufruire di quella condizione ... quindi comincio a pensare di non aver capite un granchè in fin dei conti ..
il problema è che ogni volta che credo di aver capito c'è un esempio o un esercizio che contraddice l'idea che mi son fatto..pet esempio
dato uno spazio vettoriale $A$ su $R$ di dimensione 3 e fissato un riferimento $B=(b_1,b_2,b_3)$,
trovare un endomorfismo che abbia come autovalore 3 e che sia tale che:
$f(b_2)=b_3$ $f(b_1+b_2)=b_1+b_2$
Una volta trovato studiarne la diagonalizzabilità..
Ragionando come mi hai spiegato in precedenza la prima cosa che penso di fare è trovare la matrice associata all'End rispetto alla base $B$
Dunque dovrei trovare le immagini tramite $fepsilonEnd(A))$ dei vettori della base
Sfrttando la linearità $f(b_1)=b_1+b_2-f(b_2)$
Siccome $f(b_2)=b_3$ allora $f(b_1)=b_1+b_2-b_3$
Abbiamo trovato
$f(b_1)=b_1+b_2-b_3$ decomposta rispetto ai vettori di $B$ $(1,1,-1)$
$f(b_2)=b_3$ decomposta rispetto ai vettori di $B$ $(0,0,1)$
$f(b_3)=?$
ecco al momento in cui dovrei usare la condizione dell'autovalore mi blocco..
In pratica avevo pensato di scrivere l'immagine di $b_3$ in funzione di qualche parametro poi scrivere la matrice dell'endomorfismo con un paramatro e discuterne la diagonalizzabilità con quel parametro sfruttando il fatto che deve esserci un autovalore =3
Ammettendo che la decomposizione di $f(b_3)$ rispetto a $B$ sia genericamente $(a,c,d)$
scrivo la matrice
$[[1,0,a],[1,0,c],[-1,1,d]]$
A questo punto mi blocco sull'autovalore..insomma non riesco ad usufruire di quella condizione ... quindi comincio a pensare di non aver capite un granchè in fin dei conti ..
mmm a provo vedere se funziona 
edit:
Funziona in parte perchè se $f(b_3)=3b_3$ la decomposizione dell'immagine nei confronti della base $B$ è $(0,0,3)$
la matrice associata all'endomorfismo è:
$A=[[1,0,0],[1,0,0],[-1,1,3]]$
Il polinomio caratterisitico $|A-lambdaI_n|=0$
$[[1-lambda,0,0],[1,0-lambda,0],[-1,1,3-lambda]]$
dunque $p(lambda)=(1-lambda)(-lambda)(3-lambda)$
Otteniamo si l'autovalore 3, otteniamo pure 3 autovalori distinti, tanti quante sono le dimensioni dell'autospazio (Questo ancora non mi è chiaro) ma l'endomorfismo non è diagonalizzabile perchè la molteplicità algebrica dell'autovalore 3 è 1, mentre le dimensioni dell'autospazio sono uguali a 3..la molteplicità algebrica è diversa dalla molteplicità geometrica ..
Non c'è modo per ottenere invece un endomorfismo diagonalizzabile?
edit:
Funziona in parte perchè se $f(b_3)=3b_3$ la decomposizione dell'immagine nei confronti della base $B$ è $(0,0,3)$
la matrice associata all'endomorfismo è:
$A=[[1,0,0],[1,0,0],[-1,1,3]]$
Il polinomio caratterisitico $|A-lambdaI_n|=0$
$[[1-lambda,0,0],[1,0-lambda,0],[-1,1,3-lambda]]$
dunque $p(lambda)=(1-lambda)(-lambda)(3-lambda)$
Otteniamo si l'autovalore 3, otteniamo pure 3 autovalori distinti, tanti quante sono le dimensioni dell'autospazio (Questo ancora non mi è chiaro) ma l'endomorfismo non è diagonalizzabile perchè la molteplicità algebrica dell'autovalore 3 è 1, mentre le dimensioni dell'autospazio sono uguali a 3..la molteplicità algebrica è diversa dalla molteplicità geometrica ..
Non c'è modo per ottenere invece un endomorfismo diagonalizzabile?
Ahhh..quindi la somma delle molteplicità algebriche deve essere uguale alle dimensioni dello spazio vettoriale dominio e codominio del nostro endomorfismo..tra l'altro se ci sono $n$ valori distinti ognuno ha molteplicità algebrica uguale a 1 e dunque la molteplicità geometrica può essere soltanto 1! Di conseguenza l'endomorfismo è diagonalizzabile rispetto a ognuno dei valori distinti..gli autospazi relativi ai singoli endomorfismi hanno tutti dimensione 1 essendo la loro molteplicità geometrica forzata ad essere 1..
Dunque un endomorfismo è diagonalizzabile solo se la SOMMA delle molteplicità algebriche degli autovalori=SOMMA delle molteplicità geometriche degli autospazio relativi, tale SOMMA può essere uguale soltanto alle dimensioni dello spazio vettoriale dominio e codominio perchè gli autospazi sono sottospazi e la loro somma è diretta e da come risultato proprio lo spazio vettoriale dominio e codominio..
D'altra parte non è detto che sia diagonalizzabile solo un endomorfismo che possiede $n$ autovalori distinti con molteplicità algebrica =1 giusto?
Per il primo esempio che ho postato finalmente ho capito perchè non è diagonalizzabile se $W$ è l'autospazio..in quanto tale autospazio ha dimensione 2 e dunque moleplicità geometrica =2, ci sono però 3 autovalori distinti, se almeno uno possedesse molteplicità algebrica =2 allora la somma delle molteplicità algebriche sarebbe maggiore delle dimensioni dello spazio vettoriale $R^3$ dominio e codominio, quindi non è diagonalizzabile..
Ammettendo di prendere lo stesso esempio di prima e stavolta prendiamo invece l'insieme delgi autovalori $[1,2]$
Esisterà un Endomorfismo di $R^3$ diagonalizzabile avente $W$ come autospazio relativo all'insieme delgi autovalori $[1,2]$?
Secondo me si, perchè prendo per esempio il valore 1 con molteplicità algebrica = 2, e il valore 2 con molteplicità algebrica =1
L'autospazio $W$ ha molteplicità geometrica uguale a 2 per cui di sicuro l'endomorfismo è diagonalizzabile rispetto all'autovalore 1, inoltre la somma delle molteplicità dei due valori distinti è proprio uguale alle dimensioni dello spazio vettoriale dominio e codominio quindi è diagonalizzabile..
Ma l'autospazio relativo all'autovalore 2 però avrà molteplicità geometrica uguale a 1, dunque non può essere $W$, $W$ sarebbe l'autospazio dell'autovalore 1, ma non dell'autovalore 2..giusto?
Dunque un endomorfismo è diagonalizzabile solo se la SOMMA delle molteplicità algebriche degli autovalori=SOMMA delle molteplicità geometriche degli autospazio relativi, tale SOMMA può essere uguale soltanto alle dimensioni dello spazio vettoriale dominio e codominio perchè gli autospazi sono sottospazi e la loro somma è diretta e da come risultato proprio lo spazio vettoriale dominio e codominio..
D'altra parte non è detto che sia diagonalizzabile solo un endomorfismo che possiede $n$ autovalori distinti con molteplicità algebrica =1 giusto?
Per il primo esempio che ho postato finalmente ho capito perchè non è diagonalizzabile se $W$ è l'autospazio..in quanto tale autospazio ha dimensione 2 e dunque moleplicità geometrica =2, ci sono però 3 autovalori distinti, se almeno uno possedesse molteplicità algebrica =2 allora la somma delle molteplicità algebriche sarebbe maggiore delle dimensioni dello spazio vettoriale $R^3$ dominio e codominio, quindi non è diagonalizzabile..
Ammettendo di prendere lo stesso esempio di prima e stavolta prendiamo invece l'insieme delgi autovalori $[1,2]$
Esisterà un Endomorfismo di $R^3$ diagonalizzabile avente $W$ come autospazio relativo all'insieme delgi autovalori $[1,2]$?
Secondo me si, perchè prendo per esempio il valore 1 con molteplicità algebrica = 2, e il valore 2 con molteplicità algebrica =1
L'autospazio $W$ ha molteplicità geometrica uguale a 2 per cui di sicuro l'endomorfismo è diagonalizzabile rispetto all'autovalore 1, inoltre la somma delle molteplicità dei due valori distinti è proprio uguale alle dimensioni dello spazio vettoriale dominio e codominio quindi è diagonalizzabile..
Ma l'autospazio relativo all'autovalore 2 però avrà molteplicità geometrica uguale a 1, dunque non può essere $W$, $W$ sarebbe l'autospazio dell'autovalore 1, ma non dell'autovalore 2..giusto?
Avevo letto la relativa sezione di algebra lineare for dummies, il problema e' che l'avevo confrontata con gli appunti che avevo preso a lezione ( molto di fretta) trovando delle cose poco chiare, quindi tentavo in tutti I modi di rendere compatibii gli appunti con quello che c'e' scritto nelle varie dispense...e mi servivano conferme ora ho capito che avevo trascurato dei concetti fondamentali buttandomi a capofitto negli esercizi..salvo poi non uscirne sbattendo la testa tutta la domenica ...
infine grazie di cuore per la pazienza e per l'aiuto Sergio, e per aver risposto alle idiozie che ho detto
ora ho capito che avevo trascurato dei concetti fondamentali buttandomi a capofitto negli esercizi..salvo poi non uscirne sbattendo la testa tutta la domenica ... infine grazie di cuore per la pazienza e per l'aiuto Sergio, e per aver risposto alle idiozie che ho detto
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