Perchè il folium non è un omeomorfismo?
Studiando dal mio libro di testo mi sono imbattuto nella rappresentazione del folium di Cartesio come applicazione $ sigma :R->R^2 $ dove $ sigma(t)=((3t)/(t^3+1),(3t^2)/(t^3+1)) $ con $ t\in (-1,+oo ) $.
Il testo dice che questa
Dice che l'applicazione è iniettiva, quindi sicuramente invertibile rispetto all'immagine, tuttavia non saprei come dimostrare, né che è iniettiva, né il fatto che non sia un omeomorfismo.
Un aiutino?
Il testo dice che questa
è una curva parametrizzata iniettiva ma non un omeomorfismo con l'immagine
Dice che l'applicazione è iniettiva, quindi sicuramente invertibile rispetto all'immagine, tuttavia non saprei come dimostrare, né che è iniettiva, né il fatto che non sia un omeomorfismo.
Un aiutino?
Risposte
L'immagine del folium ha una autointersezionei [...]
non per $ t\in (-1,+oo ) $
Credo di aver risolto il problema:
iniziamo con l'iniettività $ sigma(t)=((3t)/(t^3+1),(3t^2)/(t^3+1)) $ con $ t\in (-1,+oo )=D $ quindi svolgo
$ { ( (3t)/(1+t^3)=(3mu)/(1+mu^3)),( (3t^2)/(1+t^3)=(3mu^2)/(1+mu^3) ):} $ con$ t\in (-1,+oo ) $ e $ mu \in R-{-1} $
divido le due equazioni tra loro [facendo quindi attenzione alla condizione di esistenza $ (3t)/(1+t^3)= (3mu)/(1+mu^3)!=0 $] quindi
$ t=mu $ e $ t,mu!=0 $ pongo $ t=0 $ ed ottengo $ sigma(t)=(0,0) $ quindi pongo $ sigma(t)=((3t)/(t^3+1),(3t^2)/(t^3+1))=(0,0) $ che è possibile solo per t=0 (anche se qui mi viene il dubbio che $ +infty $ possa essere considerato una soluzione di $ sigma(t)=0 $ e che quindi $ sigma(t) $ non sia iniettiva
).
Quindi $ sigma: (-1,+infty) -> Im(sigma) $ è iniettiva
passo alla parte dell'omeomorfismo: per definizione, affinché $ sigma(t) $ sia un omeomorfismo sia essa che la sua inversa [ $ omega : Im(sigma) to (-1,+infty) $ ] devono essere continue (l'inversa ovviamente esiste per bigettività di $ sigma $ ).
$ sigma(t) $ è regolare in $ D $
quindi $ sigma(t) $ è continua in $ D $.
Noto che $ t=y/x $ per $x!=0$ quindi $ omega(x,y)={ (( y/x, x!=0 )),(( 0, x=0 )):} $ ma $ lim_((x,y) -> (0,0)) y/x $ non esiste e, come dimostrato precedentemente, $ (0,0) in Im(sigma) $ perché $ sigma(0)=(0,0) $, ne concludiamo che $ omega(x,y) $ è discontinua in $ Im(sigma) $ e quindi $ sigma $ non è un omeomorfismo!!
iniziamo con l'iniettività $ sigma(t)=((3t)/(t^3+1),(3t^2)/(t^3+1)) $ con $ t\in (-1,+oo )=D $ quindi svolgo
$ { ( (3t)/(1+t^3)=(3mu)/(1+mu^3)),( (3t^2)/(1+t^3)=(3mu^2)/(1+mu^3) ):} $ con$ t\in (-1,+oo ) $ e $ mu \in R-{-1} $
divido le due equazioni tra loro [facendo quindi attenzione alla condizione di esistenza $ (3t)/(1+t^3)= (3mu)/(1+mu^3)!=0 $] quindi
$ t=mu $ e $ t,mu!=0 $ pongo $ t=0 $ ed ottengo $ sigma(t)=(0,0) $ quindi pongo $ sigma(t)=((3t)/(t^3+1),(3t^2)/(t^3+1))=(0,0) $ che è possibile solo per t=0 (anche se qui mi viene il dubbio che $ +infty $ possa essere considerato una soluzione di $ sigma(t)=0 $ e che quindi $ sigma(t) $ non sia iniettiva
).Quindi $ sigma: (-1,+infty) -> Im(sigma) $ è iniettiva
passo alla parte dell'omeomorfismo: per definizione, affinché $ sigma(t) $ sia un omeomorfismo sia essa che la sua inversa [ $ omega : Im(sigma) to (-1,+infty) $ ] devono essere continue (l'inversa ovviamente esiste per bigettività di $ sigma $ ).
$ sigma(t) $ è regolare in $ D $
dimostrazione:
$ { ( dx/dt=0 ),(dy/dt=0):} $, $ { (t=root(3)(1/2) ),( t=0 \or root(3)(2) ):} $ quindi $ abs(abs(sigma'(t)))!=0 $
quindi $ sigma(t) $ è continua in $ D $.
Noto che $ t=y/x $ per $x!=0$ quindi $ omega(x,y)={ (( y/x, x!=0 )),(( 0, x=0 )):} $ ma $ lim_((x,y) -> (0,0)) y/x $ non esiste e, come dimostrato precedentemente, $ (0,0) in Im(sigma) $ perché $ sigma(0)=(0,0) $, ne concludiamo che $ omega(x,y) $ è discontinua in $ Im(sigma) $ e quindi $ sigma $ non è un omeomorfismo!!
Chiedo conferme sulla correttezza del procedimento.
Strano, sul libro diceva che la curva è iniettiva. Boh, non so.
credo di aver capito, formalmente si poterebbe dire che siccome $ lim_(t -> oo) sigma(t)= (0,0) $ e $ sigma(0)= (0,0) $, definendo $ sigma^-1:=omega: Im(sigma) to D $ allora $ Non\exists lim_((x,y) -> (0,0)) omega(x,y) $ (non riesco a capire come si faccia il simbolo non eiste ) e quindi $ omega $ è discontinua.
Da ciò si conclude che $ sigma $ non può essere un omeomorfismo.
Da ciò si conclude che $ sigma $ non può essere un omeomorfismo.
Nei messaggi precedenti l'ho dimostrato esplicitando l'inversa però non credo sia strettamente necessario: secondo me basta l'osservazione che ho fatto sopra secondo cui $ sigma(t) = (0,0) $ per $ t=0 $ oppure $ t to \infty $ e quindi l'inversa deve dare almeno questi due risultati quando $ (x,y) $ tende a $ (0,0) $.
$ sigma(t) $ è regolare in $ D $
dimostrazione:
$ dx/dt=d/dt(3t)/(t^3+1)=3/(t^3+1)-3/t^3!=0 $ quindi $ abs(abs(sigma'(t)))!=0 $
quindi $ sigma(t) $ è continua in $ D $.
Hai ragione non so proprio come abbia fatto a sbagliare questa derivata
.Per quanto riguarda l'inversa credo di aver capito cosa intendi, dovrei fare il limite "muovendomi soltanto lungo la curva". Però eventualmente nel caso che hai proposto tu con $ sigma:(500,+oo)toIm(sigma) $ il punto $ (0,0) notin Im(sigma) $quindi non ci dovrebbero essere problemi, penso. (Però non ne sono sicuro).
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