Perche' il coefficiente di Fourier divide per il quadrato (!) della norma?

[giuscri]

Mi sto sfaciando la capa su questo fatto: dato uno spazio euclideo \( (V, \langle , \rangle ) \) e presi due vettori \( \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V \) riesco a stortare il vettore \( \mathbf{v} \) di modo che risulti perpendicolare a \( \mathbf{w} \), via
\[ \tilde{\mathbf{v}} := \mathbf{v} - c_F \mathbf{w} \qquad c_F := \frac{ \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle }{ \langle \mathbf{w}, \mathbf{w} \rangle }\]
di modo che sia
\[ \tilde{ \mathbf{v} } \perp \mathbf{w} \]

La questione e': i calcoli effettivamente tornando scrivendo il \( c_F \) (coefficiente di Fourier), ma mi piacerebbe riuscire a vederlo anche nel caso bidimensionale, pensando a freccette sul piano.

L'obiezione che faccio a quel coefficiente e' che mi aspetto dovrebbe essere
\[ \frac{ \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle }{ \| \mathbf{w} \| } \]
cioe'

a \( \mathbf{v} \) tolgo la componente parallela a \( \mathbf{w} \) tenendomi solo quella perpendicolare

Eppure cosi' non funziona --sebbene graficamente mi pare abbia un senso quello che dico.

Qualcuno capisce la mia perplessita'?

Grazie,
Giuseppe

[j18eos]

Non sono un accademico della Crusca, ma questa è una dura frustata all'orecchio:

"giuscri":...stortare...

Venendo al quesito: come ti calcoli quel coefficiente (di Fourier)?

[dissonance]

"giuscri":Mi sto sfaciando la capa su questo fatto: dato uno spazio euclideo \( (V, \langle , \rangle ) \) e presi due vettori \( \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V \) riesco a stortare il vettore \( \mathbf{v} \) di modo che risulti perpendicolare a \( \mathbf{w} \), via
\[ \tilde{\mathbf{v}} := \mathbf{v} - c_F \mathbf{w} \qquad c_F := \frac{ \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle }{ \langle \mathbf{w}, \mathbf{w} \rangle }\]
di modo che sia
\[ \tilde{ \mathbf{v} } \perp \mathbf{w} \]

La questione e': i calcoli effettivamente tornando scrivendo il \( c_F \) (coefficiente di Fourier), ma mi piacerebbe riuscire a vederlo anche nel caso bidimensionale, pensando a freccette sul piano.

L'obiezione che faccio a quel coefficiente e' che mi aspetto dovrebbe essere
\[ \frac{ \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle }{ \| \mathbf{w} \| } \]
cioe'

a \( \mathbf{v} \) tolgo la componente parallela a \( \mathbf{w} \) tenendomi solo quella perpendicolare

Eppure cosi' non funziona --sebbene graficamente mi pare abbia un senso quello che dico.

Ma infatti è così, solo che se ti tieni il coefficiente come lo dici tu poi lo devi moltiplicare per \(\mathbf{w}/\lVert w \rVert\), non per \(\mathbf{w}\).

[giuscri]

"dissonance":Ma infatti è così, solo che se ti tieni il coefficiente come lo dici tu poi lo devi moltiplicare per \( \mathbf{w}/\lVert w \rVert \), non per \( \mathbf{w} \).

No, aspetta. Provo a spiegarmi meglio: ho due vettori \( \mathbf{v} \), \( \mathbf{w} \) di \( \mathbb{R}^2 \). La componente perpendicolare di \( \mathbf{v} \) rispetto a \( \mathbf{w} \) mi aspetto sia
\[ \mathbf{v} - \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle \cdot \frac{ \mathbf{w} }{ \lVert \mathbf{w} \rVert } \]
cioe' andare a togliere a \( \mathbf{v} \) la sua componente lungo la direzione individuata da \( \mathbf{w} \) --da qui il versore \( \mathbf{w} / \lVert \mathbf{w} \rVert \)

"j18eos": ...come ti calcoli quel coefficiente (di Fourier)?

Se intendi chiedermi `da dove spunta?', be' ...e' proprio quella la domanda a cui mi piacerebbe dare una risposta. Nella risposta a dissonance cerco di dare un'idea di come farei io --in un modo evidentemente sbagliato pero'.

[dissonance]

E no. Devi fare
\[\mathbf{v}-\left\langle \mathbf{v}, \frac{\mathbf{w}}{\lVert \mathbf{w}\rVert}\right\rangle \frac{\mathbf{w}}{\lVert \mathbf{w}\rVert}.\]
Questa è la proiezione ortogonale.

[giuscri]

"dissonance":\[\mathbf{v}-\left\langle \mathbf{v}, \frac{\mathbf{w}}{\lVert \mathbf{w}\rVert}\right\rangle \frac{\mathbf{w}}{\lVert \mathbf{w}\rVert}.\]

Ah!, lo vedo! Mhn. Voglio comunque ritornarci sopra.
Grazie per l'aiuto comunque
Dove posso approfondire la cosa? Su unqualsiasitestodialgebralineare?, o c'e' un riferimento particolarmente interessante?

@Armando: se trovi sia utile per me proseuire per la strada che proponevi, chiaramente ti seguo.

[j18eos]

Il problema è semplice: dati i vettori \(\mathbf{v}\) e \(\mathbf{w}\), costruire un vettore \(\widetilde{\mathbf{v}}\) ortogonale a \(\mathbf{w}\)!

Non avendo molte informazioni poni: \[\widetilde{\mathbf{v}}=\lambda\mathbf{v}+\mu\mathbf{w}\,\,\text{e}\,\,\widetilde{\mathbf{v}}\perp\mathbf{w}\] però così ti trovi una equazione in due incognite; dato che: non escludi che possa essere \(\mathbf{v}\perp\mathbf{w}\) conviene porre \(\lambda=1\), dato che \(\mathbf{w}\neq\mathbf{0}\) puoi così calcolarti \(\mu\) ovvero il coefficiente di Fourier!

Ti convince?