Per quali valori il vettore appartiene all'Im(f)

[FiorediLoto2]

Salve,
ho provato a svolgere questo esercizio ma credo sia sbagliato, in basso posto la mia soluzione

Per $k in R$ sia assegnata l'applicazione lineare $f: R^3 to M_2(R)$ definita da:

$f(x,y,z) = (((k-1)x+y-2z, x-(k+1)y+2z),(kz, 2x-2y+4z))$

ed il vettore $u=((-1,1),(0,2+k))$

stabilire i valori di k tali che $u in Im(f)$

Ho provato a risolvere questo sistema:

$\{((k-1)x+y-2z=-1),(x-(k-1)y+2z=1),(kz=0),(2x-2y+4z=2+k):}$

ma non so se sia giusto o sbagliato
mi chiedo se esiste un altro metodo, oppure questo è l'unico? (sempre se sia giusto)

Grazie!

[mistake89]

Sì, mi pare giusto. Hai considerato il fatto che se $u$ appartiene all'immagine allora esisterà un vettore la cui immagine sia proprio $u$.
Avresti potuto anche calcolare una base dell'immagine al variare di $k$ e scrivere $u$ come combinazione lineare di quei vettori di base, ma non so se il metodo sia il più veloce.

[mtx4]

è una richiesta postata anche da me
sono giunto a questa soluzione
occorre trovare una basa dell' $Imf$ e fare una combinazione lineare
oppure imporre che il vettore richiesto sia dipendente dai vettori della base
lo si può fare o col rango per matrici non quadrate, e in questo caso si vede per quali valori la matrice completa e incompleta hanno rango diverso
o col determinante per matrici quadrate, imponendolo uguale a zero