Per dormire, conta i polinomi al posto delle pecore!
Salve gente,
come sempre faccio domande un pò strane...speriamo che qualcuno ha 1 esperienza nel settore.
Supponiamo di avere $k+1$ polinomi distinti di grado 1. Adesso, moltiplicando a caso questi polinomi (i polinomi possono essere scelti anche più di una volta) quanti polinomi di grado minore ad $n$ posso creare ?
E' possibile stabilire che il numero di polinomi di grado minore ad $n$ sia almeno $((n+k),(n-1))$ ?
come sempre faccio domande un pò strane...speriamo che qualcuno ha 1 esperienza nel settore.
Supponiamo di avere $k+1$ polinomi distinti di grado 1. Adesso, moltiplicando a caso questi polinomi (i polinomi possono essere scelti anche più di una volta) quanti polinomi di grado minore ad $n$ posso creare ?
E' possibile stabilire che il numero di polinomi di grado minore ad $n$ sia almeno $((n+k),(n-1))$ ?
Risposte
Questo link ti sarà di aiuto.
Ora sono incasinatissimo con il lavoro, se ho tempo rispondo più tardi...
Ora sono incasinatissimo con il lavoro, se ho tempo rispondo più tardi...
Moltiplicando a caso quante volte? Secondo me, devi indicare il numero di moltiplicazioni tra i polinomi, o dire smplicemente "eseguendo tutte le moltiplicazioni possibili".
Si, penso che quel moltiplicando a caso voglia dire eseguendo tutte e sole le moltiplicazioni possibili.
Altrimenti si entra nel campo della probabilità e le cose si complicano parecchio...
Altrimenti si entra nel campo della probabilità e le cose si complicano parecchio...
e allora io...ho ragionato....su questo problema così
I polinomi di grado minore a $n$ sono tutti quelli di grado $0, 1, ..., n-1$. In generale se abbiamo $k+1$ polinomi distinti di grado 1, il numero di polinomi di grado $i$ che possiamo costruire si può determinare con la formula delle combinazioni con ripetizione $((k+1+i-1),(i))$. Quindi il numero di polinomi di grado minore a $n$ che possiamo creare è pari a
$\sum_{i=0}^{n-1} ((k+i),(i))$.
Io sono arrivato a questa conclusione....ma la domanda adesso è :
$\sum_{i=0}^{n-1} ((k+i),(i))$ è maggiore di $((n+k),(n-1))$ ?
I polinomi di grado minore a $n$ sono tutti quelli di grado $0, 1, ..., n-1$. In generale se abbiamo $k+1$ polinomi distinti di grado 1, il numero di polinomi di grado $i$ che possiamo costruire si può determinare con la formula delle combinazioni con ripetizione $((k+1+i-1),(i))$. Quindi il numero di polinomi di grado minore a $n$ che possiamo creare è pari a
$\sum_{i=0}^{n-1} ((k+i),(i))$.
Io sono arrivato a questa conclusione....ma la domanda adesso è :
$\sum_{i=0}^{n-1} ((k+i),(i))$ è maggiore di $((n+k),(n-1))$ ?
Ma esiste almeno un testo di riferimento (possibilmente free) online che contiene innumerevoli limiti superiori e inferiori sui coefficienti binomiali? così potrei cercare di risolvere il problema applicando qualche proprietà nota !
Grazie lo stesso a tutti coloro che hanno cercato di darmi 1 mano.
Con fatica e lavoro...son riuscito a dimostrarla.
La strada che avevo intrapreso era giusta. Restava solo da dimostrare la disuguaglianza col maggiore e uguale. Ciò si può fare con una dimostrazione per induzione su $n$ e sfruttando la relazione di Stifel.
Con fatica e lavoro...son riuscito a dimostrarla.
La strada che avevo intrapreso era giusta. Restava solo da dimostrare la disuguaglianza col maggiore e uguale. Ciò si può fare con una dimostrazione per induzione su $n$ e sfruttando la relazione di Stifel.
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