Per capirci sul cambio di base nelle applicazioni lineari

[cappellaiomatto1]

salve a tutti,
intanto scrivo delle cose per vedere se ho capito:

ad esempio ho un'applicazione lineare del tipo $ F(x,y)=(2x+y,x-y,-x+3x) $ ...la matrice associata rispetto alle base canoniche sarà $ ( ( 2 , 1 ),( 1 , -1 ),( -1 , 3 ) ) $ ...questo significa che se prendo un vettro a caso $ v=(1,2) in RR^2 $ ,calcolando le coordinate di $ v $ e $ F(v) $ rispettivamente nella base canonica di partenza e di arrivo avrò che $ v=e_1+2e_2-> $ $ ( ( 1 ),( 2 ) ) $ ......e $ F(v)=4e_1-e_2+5e_3->( ( 4 ),( -1 ),( 5 ) ) $ ...che andando a utilizzare la matrice sarà:

$ ( ( 2 , 1 ),( 1 , -1 ),( -1 , 3 ) )*( ( 1 ),( 2 ) )=( ( 4 ),( -1 ),( 5 ) ) $ ...e prendendo un generico vettore $ ( ( x ),( y ) ) $ otterrò:


$ ( ( 2 , 1 ),( 1 , -1 ),( -1 , 3 ) )*( ( x ),( y ) ) =(2x+y,x-y,-x+3x)=F(x,y) $

Ora se invece delle basi caniniche metto in partenza e in arrivo rispettivamente le basi $ B={(1,1);(1,-3)} $ e $ C={(3,0,0);(1,1,0);(0,1,1)} $ e prendo un altro vettore a caso $ v=(3,-1) $
ottengo che le componenti del vettore espresse nelle nuove basi saranno $ v=(3,-1)=2b_1+b_2->( ( 2 ),( 1 ) ) $ e $ F(v)=(-5/3)c_1+10c_2-6c_3->( ( -5/3 ),( 10 ),( -6 ) ) $
....che con la matrice di passaggio da B a C si avrà: $ ( ( 5/3 , -5 ),( -2 , 14 ),( 2 , -10 ) )*( ( 2 ),( 1 ) )=( ( -5/3 ),( 10 ),( -6 ) ) $ ...
ora arrivo alla domanda(probabilmente sciocca...)
ma questo significa che se ora prendessi un vettore generico e lo moltiplicassi per la matrice del cambiamento di basallora avrei un'applicazione lineare scritta per le due nuove basi?
ha senso questo?.. $ ( ( 5/3 , -5 ),( -2 , 14 ),( 2 , -10 ) )*( ( x ),( y) )->F(x,y)=((5/3)x-5y,-2x+14y,2x-10y) $

[m45511]

Guarda io faccio in modo diverso senza usare questi procedimenti.
Uso una semplice formula abbatsanza a macchinetta
ma che funziona sempre.
Se nella consegna ti viene data una base del dominio o del codominio usa la formula:

$L=C^-1*A*B$

$L$=matrice che devi trovare
$C^1$=matrice base formata dali vettori trasposti della base del codominio
$B$=Matrice formata dai vettori trasposti della base del dominio
$A$=matrice che rappresenta l'applicazione lineare secondo la base canonica

[cappellaiomatto1]

ehm si questo lo sapevo! ho voluto scrivere il procedimento in quel modo per vedere se sulla base teorica si era daccordo e inoltre se effettivamente a parte il modo di scrivere le coordinate e le basi,cambi anche l'applicazione lineare,visto che negli esercizi che ho svolto fin'ora si chiedeva sempre e solo di trovare quella benedetta matrice e io anche se la trovo non so a cosa serve...
daltrocanto la matrice di passaggio l'ho trovata comunque come te e non conosco altri metodi,a parte quello di trovare il vettore risolvendo il sistema

[cappellaiomatto1]

non si capisce bene il mio problema?devo esprimere la cosa in maniera piu chiara?....spero non si riveli un dramma....