Pendenza di un piano
Ciao a tutti, ho un piccolo problema di geometria da sottoporvi.
Supponiamo di avere un piano che interseca un sistema di assi cartesiani e sia passante per l'origine. Trascuriamo il settore per Z positive e supponiamo che il piano "salga" da Z negativi. Supponiamo di conoscere:
a) gli angoli che gli assi X e Y (le proiezioni) formano con questo piano, per semplicità diciamo 10° ambedue;
b) l'angolo orizzontale, giacente entro il piano definito dagli assi X e Y, che la direzione di inclinazione del piano assume rispetto agli assi. Essendo gli angoli del punto a) identici, questo angolo sarà 45°;
Qualcuno sa dirmi coma faccio a risalire all'angolo di inclinazione in corrispondenza della retta rappresentativa della direzione di inclinazione a partire dagli angoli che formano gli assi X e Y col piano ?
Ho verificato empiricamente che se:
- angolo fra asse X e piano = 3,86°;
- angolo fra asse Y e piano = 4,66°;
- angolo giacente sull'orizzontale, della direzione di inclinazione, rispetto all'asse X = 50,38°;
ottengo un angolo di inclinazione pari a 5,00°. Vabbè...più o meno...
Se il piano fosse inclinato di 5° e fosse parallelo all'asse delle Y (quindi intersecasse l'asse delle Y), rispetto all'asse X la direzione di inclinazione avrebbe esattamente un angolo di 5°. Via via che il piano ruota attorno all'asse Z per arrivare a coincidere con l'asse X si otterranno angoli rispetto ad X ed Y, che dovrebbero stare in una qualche relazione con l'angolo della direzione di inclinazione...ma qual'è questa relazione ? A parole è un pò intorcinato...
...in pratica è abbastanza semplice.
Se non sono stato abbastanza chiaro...chiedete.
Supponiamo di avere un piano che interseca un sistema di assi cartesiani e sia passante per l'origine. Trascuriamo il settore per Z positive e supponiamo che il piano "salga" da Z negativi. Supponiamo di conoscere:
a) gli angoli che gli assi X e Y (le proiezioni) formano con questo piano, per semplicità diciamo 10° ambedue;
b) l'angolo orizzontale, giacente entro il piano definito dagli assi X e Y, che la direzione di inclinazione del piano assume rispetto agli assi. Essendo gli angoli del punto a) identici, questo angolo sarà 45°;
Qualcuno sa dirmi coma faccio a risalire all'angolo di inclinazione in corrispondenza della retta rappresentativa della direzione di inclinazione a partire dagli angoli che formano gli assi X e Y col piano ?
Ho verificato empiricamente che se:
- angolo fra asse X e piano = 3,86°;
- angolo fra asse Y e piano = 4,66°;
- angolo giacente sull'orizzontale, della direzione di inclinazione, rispetto all'asse X = 50,38°;
ottengo un angolo di inclinazione pari a 5,00°. Vabbè...più o meno...
Se il piano fosse inclinato di 5° e fosse parallelo all'asse delle Y (quindi intersecasse l'asse delle Y), rispetto all'asse X la direzione di inclinazione avrebbe esattamente un angolo di 5°. Via via che il piano ruota attorno all'asse Z per arrivare a coincidere con l'asse X si otterranno angoli rispetto ad X ed Y, che dovrebbero stare in una qualche relazione con l'angolo della direzione di inclinazione...ma qual'è questa relazione ? A parole è un pò intorcinato...
...in pratica è abbastanza semplice.Se non sono stato abbastanza chiaro...chiedete.
Risposte
Se ho capito bene, facciamo così. Sia [tex]\pi[/tex] il nostro piano. Sia a la retta intersezione con il piano [tex]x=0[/tex] (che contiene l'asse y e z), b la retta intersezione con il piano [tex]y=0[/tex] (che contiene l'asse x e z). Noi conosciamo gli angoli [tex]\alpha[/tex] e [tex]\beta[/tex] formati risp. da a e l'asse y e da b e l'asse x. Sia ora g la retta passante per l'origine tale che forma il massimo angolo con la sua proiezione f sul piano [tex]z=0[/tex]. Vogliamo trovare l'angolo [tex]\gamma[/tex] formato dall'asse x e f.
La prima cosa che mi viene in mente richiede conoscenze di analisi 2, ma è la più immediata, secondo me...
Rappresentiamo il piano [tex]\pi[/tex] come grafico di una funzione [tex]H: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}[/tex]. Il gradiente di questa funzione è [tex]\left(\frac{\partial{H}}{\partial{x}},\frac{\partial{H}}{\partial{y}}\right)=(\tan \beta, \tan \alpha)[/tex], ed esso ha la stessa direzione della retta f, perché "punta" dove la "pendenza" è massima. Tutto sta nel calcolare l'angolo che esso forma con l'asse x. Prova a farlo tu...
La prima cosa che mi viene in mente richiede conoscenze di analisi 2, ma è la più immediata, secondo me...
Rappresentiamo il piano [tex]\pi[/tex] come grafico di una funzione [tex]H: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}[/tex]. Il gradiente di questa funzione è [tex]\left(\frac{\partial{H}}{\partial{x}},\frac{\partial{H}}{\partial{y}}\right)=(\tan \beta, \tan \alpha)[/tex], ed esso ha la stessa direzione della retta f, perché "punta" dove la "pendenza" è massima. Tutto sta nel calcolare l'angolo che esso forma con l'asse x. Prova a farlo tu...
...hai centrato la geometria del problema.
Ahimè...con un esame di istituzioni di matematiche, dato eoni fa, dubito di riuscire a trovare una soluzione con metodi di analisi 2. Però non sono stato con le mani in mano e ho tentato la strada della trigonometria usando, come riferimento, valori misurati empiricamente e pari a:
modulo vettore lungo X = modulo vettore lungo Y = 594.0;
alfa = beta = 7.745°;
gamma (l'angolo che sarà l'incognita) = 9.0°
delta = 45.0°
Spiego cosa ho fatto.
L'intersezione del piano inclinato con i piani entro i quali giacciono gli assi, ZX e ZY rispettivamente, formano triangoli rettangoli dei quali conosco l'angolo compreso fra cateto maggiore (vettore giacente sull'asse X o Y) e, appunto il cateto maggiore. A sua volta la retta rappresentativa della direzione di massima pendenza è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo. Applicando ripetutamente le relazioni che legano gli elementi dei triangoli rettangoli sono arrivato ad ottenere, per l'angolo cercato, compreso fra piano XY e retta di massima pendenza, esattamente....lo stesso valore degli angoli di partenza (7.745°)
. Nella mia costruzione ho fatto un errore concettuale...ma non riesco ad identificarlo... 
...help me !
Ahimè...con un esame di istituzioni di matematiche, dato eoni fa, dubito di riuscire a trovare una soluzione con metodi di analisi 2. Però non sono stato con le mani in mano e ho tentato la strada della trigonometria usando, come riferimento, valori misurati empiricamente e pari a:
modulo vettore lungo X = modulo vettore lungo Y = 594.0;
alfa = beta = 7.745°;
gamma (l'angolo che sarà l'incognita) = 9.0°
delta = 45.0°
Spiego cosa ho fatto.
L'intersezione del piano inclinato con i piani entro i quali giacciono gli assi, ZX e ZY rispettivamente, formano triangoli rettangoli dei quali conosco l'angolo compreso fra cateto maggiore (vettore giacente sull'asse X o Y) e, appunto il cateto maggiore. A sua volta la retta rappresentativa della direzione di massima pendenza è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo. Applicando ripetutamente le relazioni che legano gli elementi dei triangoli rettangoli sono arrivato ad ottenere, per l'angolo cercato, compreso fra piano XY e retta di massima pendenza, esattamente....lo stesso valore degli angoli di partenza (7.745°)
. Nella mia costruzione ho fatto un errore concettuale...ma non riesco ad identificarlo... ...help me !
Uhm... non riesco a capire il tuo ultimo intervento... delta chi è? Ad ogni modo, ti suggerisco un altro modo di procedere che è abbastanza equivalente a quello di prima, ma detto con parole diverse. Anche senza sapere di analisi 2, potrai essere d'accordo con me che, sul piano inclinato, la direzione di massima pendenza è perpendicolare alla direzione precorrendo la quale si procede senza alzarsi né abbassarsi. A questo punto, ci basta trovare la direzione rispetto alla quale non ci si alza né ci si abbassa, ma questa è la direzione della retta intersezione del nostro piano con un piano orizzontale, e il più facile è [tex]z=0[/tex]. Prova a non partire da numeri, cerca di capire come si possa calcolare la direzione della retta intersezione tra [tex]z=0[/tex] e il piano inclinato.
...anzitutto...grazie per la tua disponibilità 
.
Chiamo delta l'angolo giacente dentro il piano XY e compreso fra il vettore rappresentativo della direzione di massima inclinazione e l'asse di riferimento, ad esempio l'asse X. D'accordo con te circa la perpendicolarità del vettore massima inclinazione con la direzione. Questa direzione, come dici te, è una retta orizzontale che giace dentro al piano XY...in pratica è la "traccia" del piano inclinato sul piano orizzontale di riferimento.
Al momento quello che ho capito è che se il piano, supponiamo inclinato di 9°, ha la retta di emersione coincidente, ad esempio, con l'asse Y, l'angolo fra asse X e proiezione dell'asse X sul piano inclinato è esattamente 9° e l'angolo rispetto all'asse Y è ovviamente 0°. Man mano che il piano ruota attorno a Z, l'angolo fra la proiezione dell'asse X ed il piano inizia a ridursi (la superficie del piano inclinato si avvicina sempre di più ad X col procedere della rotazione) e l'angolo rispetto alla proiezione di Y inizia ad aumentare, finchè alla fine la retta di emersione del piano non va a coincidere con l'asse X ed avremo l'angolo della proiezione dell'asse Y sul piano inclinato pari a 9° (0° quella dell'asse X). Intuisco che, essendo un piano, per conoscere la pendenza della direzione di massima inclinazione mi bastano due informazioni, l'angolo di rotazione del piano rispetto a Z, che possiedo, e l'angolo della proiezione di X (o di Y)...e possiedo anche questo. La funzione che descrive l'andamento dell'angolo rispetto ad X ha un "dominio" che va, restando al caso pratico, da 9° a 0° e vale:
- 9° con rotazione del piano rispetto all'asse X pari a 0°;
- 7.745° con rotazione del piano rispetto all'asse X pari a 45°;
- 0° con rotazione del piano rispetto all'asse X pari a 90°;
E' forte la tentazione di trovare la funzione interpolante basandomi su questi tre punti...ma preferirei non barare...
.Chiamo delta l'angolo giacente dentro il piano XY e compreso fra il vettore rappresentativo della direzione di massima inclinazione e l'asse di riferimento, ad esempio l'asse X. D'accordo con te circa la perpendicolarità del vettore massima inclinazione con la direzione. Questa direzione, come dici te, è una retta orizzontale che giace dentro al piano XY...in pratica è la "traccia" del piano inclinato sul piano orizzontale di riferimento.
Al momento quello che ho capito è che se il piano, supponiamo inclinato di 9°, ha la retta di emersione coincidente, ad esempio, con l'asse Y, l'angolo fra asse X e proiezione dell'asse X sul piano inclinato è esattamente 9° e l'angolo rispetto all'asse Y è ovviamente 0°. Man mano che il piano ruota attorno a Z, l'angolo fra la proiezione dell'asse X ed il piano inizia a ridursi (la superficie del piano inclinato si avvicina sempre di più ad X col procedere della rotazione) e l'angolo rispetto alla proiezione di Y inizia ad aumentare, finchè alla fine la retta di emersione del piano non va a coincidere con l'asse X ed avremo l'angolo della proiezione dell'asse Y sul piano inclinato pari a 9° (0° quella dell'asse X). Intuisco che, essendo un piano, per conoscere la pendenza della direzione di massima inclinazione mi bastano due informazioni, l'angolo di rotazione del piano rispetto a Z, che possiedo, e l'angolo della proiezione di X (o di Y)...e possiedo anche questo. La funzione che descrive l'andamento dell'angolo rispetto ad X ha un "dominio" che va, restando al caso pratico, da 9° a 0° e vale:
- 9° con rotazione del piano rispetto all'asse X pari a 0°;
- 7.745° con rotazione del piano rispetto all'asse X pari a 45°;
- 0° con rotazione del piano rispetto all'asse X pari a 90°;
E' forte la tentazione di trovare la funzione interpolante basandomi su questi tre punti...ma preferirei non barare
...
"doppio":
Prova a non partire da numeri, cerca di capire come si possa calcolare la direzione della retta intersezione tra [tex]z=0[/tex] e il piano inclinato.
Per Z = 0 passano infinite rette. Solo una di queste è ortogonale alla direzione di massima inclinazione. Se la direzione di massima inclinazione del piano è a 45° da X, la direzione della retta per Z=0 ortogonale alla direzione di massima inclinazione sarà anch'essa 45° (nei quadranti opposti) rispetto ad X e Y...intendevi questo ? Mi sto arrovellando da due giorni.....
La funzione che cerchi e' questa:
$ arctan(frac{sen beta}{sen alpha} ) $
con la condizione che:
$ 1- (sen beta)^(2) - (sen alpha)^(2) > 0 $
bisogna avere praticita' con la geometria vettoriale.
Allora per prima cosa immagina un piano passante per O che formi con l'asse X un angolo $ alpha $.
Ora dobbiamo chiederci che equazione ha il versore normale al piano.
Usando i seni direttori possiamo scrivere il versore normale come:
$ vec i sen alpha + vec j sen beta + vec k sen gamma $
dove la somma dei quadrati dei seni direttori e' 1
$ (sen alpha)^(2) + (sen beta)^(2) + (sen gamma)^(2) = 1 $
Per cui preso un piano $ pi $ che forma con l'asse X un angolo $ alpha $, l'equazione del suo versore normale e':
$ vec i sen alpha + vec j sen beta + vec k sen gamma $
dove $ alpha $ e' fissato.
con l'altra equazione
$ (sen alpha)^(2) + (sen beta)^(2) + (sen gamma)^(2) = 1 $
abbiamo un sistema a 3 incognite e 2 equazioni.
L'altra condizione la imponiamo facendo in modo che il piano formi un angolo $ beta $ con l'asse Y
In questo modo abbiamo tutto per trovare $ gamma $
$ gamma $ e' l'angolo che il versore normale al piano forma con l'asse z, che e' proprio l'angolo tra il piano $ pi $ e il piano xy.
per trovare la proiezione della retta parallela al versore del piano $ pi $ che passa per l'origine, semplicemente poniamo a zero il versore $ vec k $ di
$ vec i sen alpha + vec j sen beta + vec k sen gamma $
che diventa
$ vec i sen alpha + vec j sen beta $
Quest ultimo e' un vettore che giace sul piano xy e la retta parallela che passa per O ha equazione
$ y = x * arctan(frac{sen beta}{sen alpha} ) $
Nel tuo esempio:
- angolo fra asse X e piano = 3,86°;
- angolo fra asse Y e piano = 4,66°;
- angolo giacente sull'orizzontale, della direzione di inclinazione, rispetto all'asse X = 50,38°;
$ arctan(frac{sen 4,66°}{sen 3,86°}) = 50.38° $
L' angolo tra i piano $ pi $ e il piano xy
$ arccos(sqrt(1-(sen alpha)^(2)-(sen beta)^(2) ) ) $
So di non essere stato rigoroso e completo, spero ti aiuti.
Ci vorrebbe un disegno per capirsi bene, ma non ho pronto un software per farlo.
E' un problema interessante.
$ arctan(frac{sen beta}{sen alpha} ) $
con la condizione che:
$ 1- (sen beta)^(2) - (sen alpha)^(2) > 0 $
bisogna avere praticita' con la geometria vettoriale.
Allora per prima cosa immagina un piano passante per O che formi con l'asse X un angolo $ alpha $.
Ora dobbiamo chiederci che equazione ha il versore normale al piano.
Usando i seni direttori possiamo scrivere il versore normale come:
$ vec i sen alpha + vec j sen beta + vec k sen gamma $
dove la somma dei quadrati dei seni direttori e' 1
$ (sen alpha)^(2) + (sen beta)^(2) + (sen gamma)^(2) = 1 $
Per cui preso un piano $ pi $ che forma con l'asse X un angolo $ alpha $, l'equazione del suo versore normale e':
$ vec i sen alpha + vec j sen beta + vec k sen gamma $
dove $ alpha $ e' fissato.
con l'altra equazione
$ (sen alpha)^(2) + (sen beta)^(2) + (sen gamma)^(2) = 1 $
abbiamo un sistema a 3 incognite e 2 equazioni.
L'altra condizione la imponiamo facendo in modo che il piano formi un angolo $ beta $ con l'asse Y
In questo modo abbiamo tutto per trovare $ gamma $
$ gamma $ e' l'angolo che il versore normale al piano forma con l'asse z, che e' proprio l'angolo tra il piano $ pi $ e il piano xy.
per trovare la proiezione della retta parallela al versore del piano $ pi $ che passa per l'origine, semplicemente poniamo a zero il versore $ vec k $ di
$ vec i sen alpha + vec j sen beta + vec k sen gamma $
che diventa
$ vec i sen alpha + vec j sen beta $
Quest ultimo e' un vettore che giace sul piano xy e la retta parallela che passa per O ha equazione
$ y = x * arctan(frac{sen beta}{sen alpha} ) $
Nel tuo esempio:
- angolo fra asse X e piano = 3,86°;
- angolo fra asse Y e piano = 4,66°;
- angolo giacente sull'orizzontale, della direzione di inclinazione, rispetto all'asse X = 50,38°;
$ arctan(frac{sen 4,66°}{sen 3,86°}) = 50.38° $
L' angolo tra i piano $ pi $ e il piano xy
$ arccos(sqrt(1-(sen alpha)^(2)-(sen beta)^(2) ) ) $
So di non essere stato rigoroso e completo, spero ti aiuti.
Ci vorrebbe un disegno per capirsi bene, ma non ho pronto un software per farlo.
E' un problema interessante.
...si, un disegno chiarirebbe...ma sei stato comunque molto circostanziato. Studierò la tua dimostrazione.
Ringrazio doppio, che ha tentato di farmi arrivare autonomamente alla soluzione e Quinzio, che mi ha risolto il problema. Mi rimane il dubbio se non sarei potuto arrivare alla stessa soluzione usando la trigonometria e le relazioni fra elementi dei triangoli rettangoli...ma è pura accademia...
Ringrazio doppio, che ha tentato di farmi arrivare autonomamente alla soluzione e Quinzio, che mi ha risolto il problema. Mi rimane il dubbio se non sarei potuto arrivare alla stessa soluzione usando la trigonometria e le relazioni fra elementi dei triangoli rettangoli...ma è pura accademia...
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