Parentesi di Lie di campi vettoriali
Salve a tutti. Sono un po' lesso e mi sto sicuramente perdendo in un bicchier d'acqua, ma la questione è la seguente: dati due campi vettoriali (sezioni del fibrato tangente) $ X_{1},X_{2} : \quad RR^{3} \rightarrow TRR^{3} $ che generano la distribuzione liscia $ \mathcal{D} $, si tratta di verificare se $ \mathcal{D} $ è involutiva e quindi integrabile. Il calcolo dovrebbe essere estremamente semplice, ma mi perdo qualcosa. I campi sono
$X_{1}=x \partial_{1} + \partial_{2} + x(y+1) \partial_{3} $
$X_{2}= \partial_{1} + y \partial_{3} $
indicando con $ \partial_{i} $ gli elementi del riferimento locale canonico del fibrato tangente. Allora
$ [X_{1},X_{2}] = ( x \partial_{1} + \partial_{2} + x(y+1) \partial_{3} ) ( \partial_{1} + y \partial_{3} ) - ( \partial_{1} + y \partial_{3} ) ( x \partial_{1} + \partial_{2} + x(y+1) \partial_{3} ) $
Dal testo, la soluzione è $-\partial_{1}-y\partial_{3}=-X_{2}$.
Suppongo vada usato Leibniz, sfruttando l'isomorfismo tra lo spazio dei campi e quello delle derivazioni su $C^{\infty}(RR^{3})$: sempre dalla soluzione, vanno via tutti gli operatori di derivazione di secondo ordine, come è giusto che sia (12 termini), ma saltano fuori tre termini di primo ordine $ \partial_{3}- \partial_{1}-(y+1) \partial_{3} $, da cui la soluzione. Da dove escono
Grazie mille, intanto ci dormo su.
$X_{1}=x \partial_{1} + \partial_{2} + x(y+1) \partial_{3} $
$X_{2}= \partial_{1} + y \partial_{3} $
indicando con $ \partial_{i} $ gli elementi del riferimento locale canonico del fibrato tangente. Allora
$ [X_{1},X_{2}] = ( x \partial_{1} + \partial_{2} + x(y+1) \partial_{3} ) ( \partial_{1} + y \partial_{3} ) - ( \partial_{1} + y \partial_{3} ) ( x \partial_{1} + \partial_{2} + x(y+1) \partial_{3} ) $
Dal testo, la soluzione è $-\partial_{1}-y\partial_{3}=-X_{2}$.
Suppongo vada usato Leibniz, sfruttando l'isomorfismo tra lo spazio dei campi e quello delle derivazioni su $C^{\infty}(RR^{3})$: sempre dalla soluzione, vanno via tutti gli operatori di derivazione di secondo ordine, come è giusto che sia (12 termini), ma saltano fuori tre termini di primo ordine $ \partial_{3}- \partial_{1}-(y+1) \partial_{3} $, da cui la soluzione. Da dove escono
Grazie mille, intanto ci dormo su.
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