Parametrizzazione regolare dell sfera
Salve ragazzi!
è da un pomeriggio che mi scervello su una possibile parametrizzazione della sfera... ma purtroppo con scarsi risultati, però so che esiste sotto il nome di bendaggio dell'infermiera.. qualcuno mi aiuta!?
è da un pomeriggio che mi scervello su una possibile parametrizzazione della sfera... ma purtroppo con scarsi risultati, però so che esiste sotto il nome di bendaggio dell'infermiera.. qualcuno mi aiuta!?
Risposte
Senza dubbio non esiste una parametrizzazione regolare di tutta la sfera. Il motivo è molto semplice: \(\displaystyle \mathbb{R^2} \) non è compatto mentre la sfera lo è. Una parametrizzazione dovrebbe, se non altro, almeno essere continua.
scusa ma non valeva solo per l'immagine continua di un compatto la compattezza? perchè avrei l'assurdo con R^2?
"dolce590":
scusa ma non valeva solo per l'immagine continua di un compatto la compattezza? perchè avrei l'assurdo con R^2?
Se hai una parametrizzazione regolare completa della sfera allora hai una funzione continua da un compatto ad un aperto connesso di $RR^2$. Ma un aperto connesso di $RR^2$ è omeomorfo a $RR^2$ stesso quindi hai una funzione da un compatto a tutto $RR^2$ che è un assurdo.
La solita parametrizzazione della sfera è la proiezione stereoscopica e come puoi vedere alla sfera levi un punto.
Scusa se insisto, ma ancora non ho ben chiara la situazione...
Penso che una parametrizzazione regolare (non necessariamente biiettiva) mi definisca una funzione continua da un aperto connesso di $R^2$ nella sfera (non il viceversa!). Questo non implica un assurdo in quanto l'immagine continua di un non compatto non è necessariamente non compatta!
...ecco perchè non vedo l'assurdo nel fatto che l'immagine della mia parametrizzazione regolare sia un compatto.
Penso che una parametrizzazione regolare (non necessariamente biiettiva) mi definisca una funzione continua da un aperto connesso di $R^2$ nella sfera (non il viceversa!). Questo non implica un assurdo in quanto l'immagine continua di un non compatto non è necessariamente non compatta!
...ecco perchè non vedo l'assurdo nel fatto che l'immagine della mia parametrizzazione regolare sia un compatto.
E infatti esistono parametrizzazioni della sfera. Ma nessuna per cui l'intorno in cui è definita è tutta la sfera. Comunque la funzione deve essere biettiva e con inversa continua (è un omeomorfismo). Sempre che non siano richieste condizioni più forti.
Ma una parametrizzazione regolare non è un omeomorfismo!!
Infatti l'esercizio chiedeva una parametrizzazione regolare della sfera e precisava il fatto che NON ne esiste una che sia contemporaneamente regolare E iniettiva!
Tra l'altro di parametrizzazioni regolari ne esistono diverse e una di queste prende il nome di bendaggio dell'infermiera. Peccato che non riesco a sapere di cosa si tratti visto che su google non ho trovato nulla...
Infatti l'esercizio chiedeva una parametrizzazione regolare della sfera e precisava il fatto che NON ne esiste una che sia contemporaneamente regolare E iniettiva!
Tra l'altro di parametrizzazioni regolari ne esistono diverse e una di queste prende il nome di bendaggio dell'infermiera. Peccato che non riesco a sapere di cosa si tratti visto che su google non ho trovato nulla...
Ok, avevo capito male. Una parametrizzazione è il dato di un insieme di intorni e per ogni intorno di un omeomorfismo tra l'intorno e un aperto di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \).
La dimostrazione che non esiste è quello che ti ho dato prima. Una parametrizzazione completa è uno iniettiva o in altre parole in cui l'intorno omeomorfo a \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) è la sfera stessa.
Una parametrizzazione regolare è quindi fondamentalmente localmente invertibile. Comunque quel nome non mi dice molto. Le parametrizzazioni della sfera più conosciute sono la http://en.wikipedia.org/wiki/Stereographic_projection, oltre che la più classica in coordinate sferiche. Ovviamente nessuna delle due è completa.
La dimostrazione che non esiste è quello che ti ho dato prima. Una parametrizzazione completa è uno iniettiva o in altre parole in cui l'intorno omeomorfo a \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) è la sfera stessa.
Una parametrizzazione regolare è quindi fondamentalmente localmente invertibile. Comunque quel nome non mi dice molto. Le parametrizzazioni della sfera più conosciute sono la http://en.wikipedia.org/wiki/Stereographic_projection, oltre che la più classica in coordinate sferiche. Ovviamente nessuna delle due è completa.
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