Parametrizzazione Lunghezza d'Arco
Ciao a tutti!
Sono davvero in difficoltà. Sto lavorando sulle parametrizzazioni. Ho capito come si riparametrizza una curva rispetto alla lunghezza d'arco ma non capisco come posso trovare un vettore di valori del parametro...
Io ho la circonferenza $f(u)=(cos(u),sin(u))$ e mi sono dati i valori del parametro rispetto alla lunghezza d'arco $s=(0,0.2,1,1.5)$. So che il parametro lunghezza d'arco è $s(t)=int_(a)^(t) sqrt(cos^2u+sin^2u) du$, con $a$ fissato (inizio dell'intervallo). Faccio l'inversa e vedo che $t=s+a$, quindi la curva parametrizzata rispetto alla lunghezza d'arco è $f(s)=(cos(t(s+a)),sin(t(s+a)))$. Ma come trovo i valori di $s$ che ho scritto sopra? Per favore, datemi una mano, non ci capisco più nulla!!! O_o
Sono davvero in difficoltà. Sto lavorando sulle parametrizzazioni. Ho capito come si riparametrizza una curva rispetto alla lunghezza d'arco ma non capisco come posso trovare un vettore di valori del parametro...
Io ho la circonferenza $f(u)=(cos(u),sin(u))$ e mi sono dati i valori del parametro rispetto alla lunghezza d'arco $s=(0,0.2,1,1.5)$. So che il parametro lunghezza d'arco è $s(t)=int_(a)^(t) sqrt(cos^2u+sin^2u) du$, con $a$ fissato (inizio dell'intervallo). Faccio l'inversa e vedo che $t=s+a$, quindi la curva parametrizzata rispetto alla lunghezza d'arco è $f(s)=(cos(t(s+a)),sin(t(s+a)))$. Ma come trovo i valori di $s$ che ho scritto sopra? Per favore, datemi una mano, non ci capisco più nulla!!! O_o
Risposte
Cominciamo col fatto che la lunghezza d'arco è l'unica funzione che percorre a velocità costante $|alpha'(s)|=1$ la curva. Proviamo, grazie al tuo esempio a vedere come deve essere parametrizzata la tua curva perché sia parametrizzata con la lunghezza d'arco. Guarda caso, la tua curva è già parametrizzata con lunghezza d'arco (a meno di orientamento e posizione iniziale):
$|alpha'(s)|=sqrt( (cos'(u))^2 + (sin'(u))^2)= sqrt( 1)=1$
Ora la posizione iniziale, se iniziamo da a invece che da 0, dobbiamo tenerne conto quindi alla nostra parametrizzazione con s sarà quella di t a cui togliamo un angolo a:
$ f(s)=(cos(s-a),sin(s-a))=(sin(a)sin(s) + cos(a)cos(s), cos(a)sin(s)-sin(a)cos(s))$
Ricontrolliamo, per scrupolo la derivata:
$|alpha'(s)|=$
$sqrt( sin^2(a)cos^2(s) - 2sin(a)cos(a)sin(s)cos(s) + cos^2(a)sin^2(s) + sin^2(a)cos^2(s) + 2sin(a)cos(a)sin(s)cos(s) +$ $+cos^2(a)sin^2(s))=$
$= sqrt( 1)=1$
Quindi la tua nuova parametrizzazione è:
$f(s)=(sin(a)sin(s) + cos(a)cos(s), cos(a)sin(s)-sin(a)cos(s))$
$|alpha'(s)|=sqrt( (cos'(u))^2 + (sin'(u))^2)= sqrt( 1)=1$
Ora la posizione iniziale, se iniziamo da a invece che da 0, dobbiamo tenerne conto quindi alla nostra parametrizzazione con s sarà quella di t a cui togliamo un angolo a:
$ f(s)=(cos(s-a),sin(s-a))=(sin(a)sin(s) + cos(a)cos(s), cos(a)sin(s)-sin(a)cos(s))$
Ricontrolliamo, per scrupolo la derivata:
$|alpha'(s)|=$
$sqrt( sin^2(a)cos^2(s) - 2sin(a)cos(a)sin(s)cos(s) + cos^2(a)sin^2(s) + sin^2(a)cos^2(s) + 2sin(a)cos(a)sin(s)cos(s) +$ $+cos^2(a)sin^2(s))=$
$= sqrt( 1)=1$
Quindi la tua nuova parametrizzazione è:
$f(s)=(sin(a)sin(s) + cos(a)cos(s), cos(a)sin(s)-sin(a)cos(s))$
Grazie della risposta 
Il concetto l'ho capito, mi chiedevo però come posso trovare il vettore $s$ che ho indicato sopra... Prendo valori qualsiasi o sono frutto di un ragionamento particolare?
Ad esempio, per la parametrizzazione uniforme vale $u_i=u_(i-1)+1$ e per quella rispetto alla lunghezza della corda vale $u_i=u_(i-1)+|P_(i-1)P_i|$ dove $u_i$ sono i valori del parametro, $P_i$ sono i punti della curva dati e $|P_(i-1)P_i|$ è la loro distanza.
Il concetto l'ho capito, mi chiedevo però come posso trovare il vettore $s$ che ho indicato sopra... Prendo valori qualsiasi o sono frutto di un ragionamento particolare?
Ad esempio, per la parametrizzazione uniforme vale $u_i=u_(i-1)+1$ e per quella rispetto alla lunghezza della corda vale $u_i=u_(i-1)+|P_(i-1)P_i|$ dove $u_i$ sono i valori del parametro, $P_i$ sono i punti della curva dati e $|P_(i-1)P_i|$ è la loro distanza.
Forse avrei dovuto dire che sto lavorando nell'interpolazione. Devo quindi scegliere una serie di valori del parametro. Io pensavo di dover fare $u_i=u_(i-1)+\int_{t_(i-1)}^{t_i} ||f'(t)|| dt$, dove i punti dati sono $P(t_i)$. Però così facendo dovrei prima scegliere dei valori per $t_i$ e non saprei come prenderli (casuali?).
Cosa devi interpolare?
Sto cercando di capire un esempio. Praticamente devo trovare la cubica di Lagrange (poi anche la quintica e la cubica e la quintica di Hermite, anche se i punti $s_i$ dati per queste sono diversi) che interpola dei punti presi dalla circonferenza unitaria centrata nell'origine nei valori $s_i$. Devo trovare (con Matlab) la curva interpolante basata sulla parametrizzazione rispetto alla lunghezza d'arco (con i valori dati) e poi con altre parametrizzazioni (lunghezza corda, uniforme,...).
Quello che mi chiedo è con che criterio sono stati scelti gli $s_i$. Posso prendere qualsiasi valore purché contenuto nell'intervallo di esistenza della curva riparametrizzata rispetto alla lunghezza d'arco?
Poi dovrei svolgere un esempio analogo ma inventato da me. Ho scelto come curva la spirale $f(u)=(ucos(u),usin(u))$. La riparametrizzazione rispetto alla lunghezza d'arco dovrebbe essere $g(s)=(s/sqrt(2) cos(s/sqrt(2)),s/sqrt(2) sin(s/sqrt(2)))$.
Ho preso casualmente come punti $s_i=(0,0.2,0.9,1.4)$. Però i risultati sperati non arrivano...
Quello che mi chiedo è con che criterio sono stati scelti gli $s_i$. Posso prendere qualsiasi valore purché contenuto nell'intervallo di esistenza della curva riparametrizzata rispetto alla lunghezza d'arco?
Poi dovrei svolgere un esempio analogo ma inventato da me. Ho scelto come curva la spirale $f(u)=(ucos(u),usin(u))$. La riparametrizzazione rispetto alla lunghezza d'arco dovrebbe essere $g(s)=(s/sqrt(2) cos(s/sqrt(2)),s/sqrt(2) sin(s/sqrt(2)))$.
Ho preso casualmente come punti $s_i=(0,0.2,0.9,1.4)$. Però i risultati sperati non arrivano...
Qui mi sento un pelo ignorante 
Ti conviene chiedere alla sessione di Analisi Numerica mi sa
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Ok, grazie comunque per il tuo aiuto
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