Parametrizzazione iperboloide ad una falda
Salve a tutti,
devo trovare una parametrizzazione iniettiva dell'iperboloide ad una falda, cioè di equazione cartesiana $x^2+y^2-z^2=1$. Avevo pensato a due metodi: il primo consiste nel dare una parametrizzazione del cilindro e far vedere che è diffeomorfo all'iperboloide (cioè comporre la parametrizzazione con il diffeomorfismo per ottenere una parametrizzazione che sia un omeomorfismo); il secondo, che sinceramente mi interessa di più, è quello di cercare una rigatura che sia iniettiva.
Chiaramente se considero una circonferenza come base del campo di rette non ottengo una parametrizzazione iniettiva poichè la circonferenza non è un'immersione. Quello che volevo fare, quindi, era scegliere come base un ramo di iperbole (il quale è certamente immerso) così trovato:
Taglio la quadrica con il piano $x=0$ e ottengo quindi l'equazione $y^2-z^2=1$. A questo punto sostituendo il parametro t a y ottengo la parametrizzazione $(0,t,sqrt(1+t^2))$ (a meno del segno davanti alla radice). Ma adesso trovata la base come posso scrivere la retta generica? E' possibile prendere come base del campo di rette un ramo dell'iperbole? Grazie.
devo trovare una parametrizzazione iniettiva dell'iperboloide ad una falda, cioè di equazione cartesiana $x^2+y^2-z^2=1$. Avevo pensato a due metodi: il primo consiste nel dare una parametrizzazione del cilindro e far vedere che è diffeomorfo all'iperboloide (cioè comporre la parametrizzazione con il diffeomorfismo per ottenere una parametrizzazione che sia un omeomorfismo); il secondo, che sinceramente mi interessa di più, è quello di cercare una rigatura che sia iniettiva.
Chiaramente se considero una circonferenza come base del campo di rette non ottengo una parametrizzazione iniettiva poichè la circonferenza non è un'immersione. Quello che volevo fare, quindi, era scegliere come base un ramo di iperbole (il quale è certamente immerso) così trovato:
Taglio la quadrica con il piano $x=0$ e ottengo quindi l'equazione $y^2-z^2=1$. A questo punto sostituendo il parametro t a y ottengo la parametrizzazione $(0,t,sqrt(1+t^2))$ (a meno del segno davanti alla radice). Ma adesso trovata la base come posso scrivere la retta generica? E' possibile prendere come base del campo di rette un ramo dell'iperbole? Grazie.
Risposte
Potresti considerare la seguente parametrizzazione regolare:
$(1) \{(x=sqrt(t^2+1)cos\phi),(y=sqrt(t^2+1)sen\phi),(z=t):}$
con $tin RR$ e $\phiin[0,2\pi[$.
In questo modo, fissato $\phi$ e al variare di $t$, ti sposti sul ramo d'iperbole ottenuto intersecando l'iperboloide con il semipiano di equazione:
$\{(y/x=(sen\phi)/(cos\phi)),(sign(x)=sign(cos\phi)),(sign(y)=sign(sen\phi)):}$
Viceversa, fissato $t$ e al variare di $\phi$, ti sposti sulla circonferenza ottenuta intersecando l'iperboloide con il piano di equazione $z=t$.
Una seconda parametrizzazione regolare che, utilizzando le rette, viene maggiormente incontro alle tue esigenze, potrebbe essere la seguente:
$(2) \{(x=cos\phi+tsen\phi),(y=sen\phi-tcos\phi),(z=t):}$
con $tin RR$ e $\phiin[0,2\pi[$.
Essa può essere vista come l'unione dei punti appartenenti alle rette:
$(x-cos\phi)/(sen\phi)=(y-sen\phi)/(-cos\phi)=(z-0)/1=t$
In pratica, sono tutte le rette passanti per $(cos\phi,sen\phi,0)$ aventi direzioni individuate da $(sen\phi,-cos\phi,1)$. Non so se intendiamo lo stesso concetto, ma mi sembra che la base di cui parlavi sia proprio la circonferenza nel piano $z=0$.
$(1) \{(x=sqrt(t^2+1)cos\phi),(y=sqrt(t^2+1)sen\phi),(z=t):}$
con $tin RR$ e $\phiin[0,2\pi[$.
In questo modo, fissato $\phi$ e al variare di $t$, ti sposti sul ramo d'iperbole ottenuto intersecando l'iperboloide con il semipiano di equazione:
$\{(y/x=(sen\phi)/(cos\phi)),(sign(x)=sign(cos\phi)),(sign(y)=sign(sen\phi)):}$
Viceversa, fissato $t$ e al variare di $\phi$, ti sposti sulla circonferenza ottenuta intersecando l'iperboloide con il piano di equazione $z=t$.
Una seconda parametrizzazione regolare che, utilizzando le rette, viene maggiormente incontro alle tue esigenze, potrebbe essere la seguente:
$(2) \{(x=cos\phi+tsen\phi),(y=sen\phi-tcos\phi),(z=t):}$
con $tin RR$ e $\phiin[0,2\pi[$.
Essa può essere vista come l'unione dei punti appartenenti alle rette:
$(x-cos\phi)/(sen\phi)=(y-sen\phi)/(-cos\phi)=(z-0)/1=t$
In pratica, sono tutte le rette passanti per $(cos\phi,sen\phi,0)$ aventi direzioni individuate da $(sen\phi,-cos\phi,1)$. Non so se intendiamo lo stesso concetto, ma mi sembra che la base di cui parlavi sia proprio la circonferenza nel piano $z=0$.
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