Parallelo tra vettori
come si risolve il parallelo tra 3 vettori?
non riesco a capire questo esercizio...
u=(1,0,1)
v=(2,-1,3)
w=(-4,3,-7)
trovare l'equazione del piano passante per P=(0,-3,2)e parallelo ai vettori u,v e w.
la condizione di parallelismo la trovo solo con il prodotto matriciale tra u e v che esce (1,-1,-1) non tenendo in considrazione w....perchè?
non riesco a capire questo esercizio...
u=(1,0,1)
v=(2,-1,3)
w=(-4,3,-7)
trovare l'equazione del piano passante per P=(0,-3,2)e parallelo ai vettori u,v e w.
la condizione di parallelismo la trovo solo con il prodotto matriciale tra u e v che esce (1,-1,-1) non tenendo in considrazione w....perchè?
Risposte
Per trovare l''equazione di un piano ci vogliono sia un punto di questo piano e due vettori direttori non paralleli oppuri un punto et un vettore normale.
supponiamo ad esmepio che i vettori u e v e il punto P(0,-3,2) siano di un piano s.
troviamo l'equazione cartesiana di questo piano.
sia M(x,y,z) un punto di s allora PM(x,y+3,z-2) quindi u,v,PM sono 3 vettori del piano s di conseguenza sono dipendenti ( dim s=2)
quindi det(PM,u,v)=0
|x 1 2 |
det(PM,u,v)=|y+3 0 -1 |=0
|z-2 1 3|
det(PM,u,v)=-(y+3)(3-2)+(x-z+2)=x-y+z-1=0
x-y+z-1=0 è una equazione del piano.
Per msotare che due vettori u e v sono paralleli basta dimostrare che esiste un reale k tc u=kv.
supponiamo ad esmepio che i vettori u e v e il punto P(0,-3,2) siano di un piano s.
troviamo l'equazione cartesiana di questo piano.
sia M(x,y,z) un punto di s allora PM(x,y+3,z-2) quindi u,v,PM sono 3 vettori del piano s di conseguenza sono dipendenti ( dim s=2)
quindi det(PM,u,v)=0
|x 1 2 |
det(PM,u,v)=|y+3 0 -1 |=0
|z-2 1 3|
det(PM,u,v)=-(y+3)(3-2)+(x-z+2)=x-y+z-1=0
x-y+z-1=0 è una equazione del piano.
Per msotare che due vettori u e v sono paralleli basta dimostrare che esiste un reale k tc u=kv.
"giuly87":
come si risolve il parallelo tra 3 vettori?
non riesco a capire questo esercizio...
u=(1,0,1)
v=(2,-1,3)
w=(-4,3,-7)
trovare l'equazione del piano passante per P=(0,-3,2)e parallelo ai vettori u,v e w.
la condizione di parallelismo la trovo solo con il prodotto matriciale tra u e v che esce (1,-1,-1) non tenendo in considrazione w....perchè?
allora è ovvio che se i tre vettori sono contenuti nello stesso piano passante per un punto, l'equazione di tale piano è unica...perciò se individuo il piano sfruttando il punto e due dei tre vettori trovo comunque l'equazione del piano contenete i tre vettori (fermo restando che i tre vettori possano essere contenuti in un unico piano)....
Un semplice metodo che potresti utilizzare è di scrivere l'equazione del piano in forma parametrica, ossia:
$(x,y,z)=s(1,0,1)+r(2,-1,3)+k(-4,3,-7)+(0,-3,2)$
cioè:
$x=s+2r-4k$
$y=-r+3k-3$
$z=s+3r-7k+2$
ora eliminando i parametri $s$, $r$ e $k$, si ottiene l'equazione cartesiana del piano che è $x-y-z-1=0$.
Ciao
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