Parallelismo tra rette

[Sk_Anonymous]

Ciao a tutti.
Date due rette $r:{ ( x+y-2z=1 ),( 2x+y+z=1 ):}$ e $s:{ (3x+y+4z=2),(x+3z=1):}$
devo verificare che esse sono parallele.
Io ho fatto così:
$r:{ ( x+y-2(1-2x-y)=1 ),( z=1-2x-y ):}=>...=>{(5x+3y-3=0),(z=1-2x+y):}$
Dalla prima equazione si vede che la retta $5x+3y-3=0$ ha vettore direzionale $\vec{v_r}=(-3,5)$.
Anologamente con la seconda:
$s:{ (3x+y+4(1-x)/3=2),(z=(1-x)/3):}=>...=>{(5/3x+y-2/3=0),(z=(1-x)/3):}$
Quindi la seconda ha vettore direzionale $\vec{v_s}=(-1,5/3)$.
Poichè $\vec{v_r}$ e $\vec{v_s}$ sono linearmente dipendenti, posso concludere che le rette sono parallele.
Ora però sul libro come soluzione dice che il vettore direzionale è $\vec{v}=(3,-5,-1)$.
Le prime due componenti sono esatte, poichè $(3,-5)////vec{v_r}=3\vec{v_s}$, ma la terza componente, sostituendo nella retta $r$, viene $2$, sostituendo nella retta $s$ viene $4/3$. Come faccio a trovare quel $-1$?

[Geppo2]

Il vettore direzionale si ottiene mettendo in forma parametrica l'equazione della retta. Nel caso di r, ponendo $ z=t $, si ottiene: $ x=-3t, y=5t+1, z=t $. Per cui il vettore direzionale e' (-3, 5, 1).

[Sk_Anonymous]

Grazie Geppo, mi ero perso in un bicchier d'acqua.