Paradosso sulla base di uno spazio vettoriale

[Sk_Anonymous]

Salve,recentemente ho fatto un osservazione che mi ha portato a mutare la definzione di base a cui da sempre facevo riferimento; in particolare se V è un insieme non vuoto. + una sua operazione interna ,* una sua legge di composizione esterna ,K un campo (reale o complesso) allora supponiamo che V sia uno spazio vettoriale su k rispetto a + e * .Supponiamo che V sia diverso dall'insieme il cui unico elemento è l'elemento nullo di V rispetto a + e che V sia finitamente generato su K allora si dimostra che esiste un naturale n non nullo tale che per ogni i naturale compreso fra 1 a n esiste un vettore vi di V tale che v1, .... , vn sono linearmente indipendenti su K e span (a coefficienti in K) dell'insieme dei v1 , ... ,vn è uguale a V.Si dice allora che l'insieme dei v1,...,vn è una base di V su K e che n è la dimensione di V su K:Questa è la definzione a cui facevo riferimento fino a che ho fatto questa banale osservazione : prendiamo R^n , è a tutti noto che n è la dimensione di R^n su R; prendiamo la base standard di R^n e1,....,en poniamo poi e(n+1) = e1 ,essendo l'insieme di e1,...,en = l'insieme di e1,...,en,e(n+1) ed essendo il primo dei due insiemi scritti una base di R^n su R allora pure il secondo dovrà esserlo ma da ciò ,per definzione di base , dovrebbe risultare che i vettori e1,...,en,e(n+1) sono linearmente indipendenti su R il che è falso ; in altre parole,generalizzando, facendo riferimento alla definzione sopra di base , quello che può succedere è che supponendo di sapere che un certo insieme formato da vettori di V v1,...,vn sia una base di V su K , nulla si potrebbe dire a proposito della loro lineare indipendenza su R poichè fra di essi ce ne potrebbero essere di uguali ! A questo punto la mia proposta per risolvere la questione è quella di cambiare la definzione di base nel seguente modo : anzichè definire L'insieme dei vari v1,...,vn come una base di V su K ,si potrebbe affermare che LA n-upla ordinata (v1,...,vn) è una base di V su K :ciò ,seppur frustrante per il fatto di essere notevolmente vincolata all'ordine con cui si scrivono i vettori nonostante il riarrangiamento degli stessi vettori non ne cambierebbe la proprietà di essere una base,impedirebbe paradossi come il precedente .Mi piacerebbe che qualcuno avesse un opinione in merito .Grazie e complimenti per il Fourm .

[Pappappero1]

Calma calma...

due vettori uguali sono evidentemente dipendenti tra di loro...se $v$ e $w$ sono uguali, allora $v-w=0$ e i coefficienti della combinazione lineare sono $+1$ e $-1$. Gli elementi di una base sono, per definizione, indipendenti e generatori dello spazio.

[Studente Anonimo]

[xdom="Martino"]Sposto in algebra lineare. Attenzione alla sezione in futuro, grazie.[/xdom]

[Studente Anonimo]

@The Tree Surgeon: il fatto è che in teoria degli insiemi gli elementi non possono essere ripetuti: per esempio l'insieme [tex]\{1,1\}[/tex] è uguale all'insieme [tex]\{1\}[/tex]. Questo segue da un assioma di ZF che si chiama "assioma di estensionalità" (cf. qui, leggi il paragrafo "conseguenze elementari").