Parabole e autospazi

[Sk_Anonymous]

Ciao a tutti.

Nella dispensa http://www.science.unitn.it/~frapporti/ ... rabola.pdf viene affermato che:

“L’autospazio corrispondente all’autovettore di modulo minore dà la direzione dell’asse della parabola, mentre l’autospazio corrispondente all’autovettore di modulo maggiore dà la direzione della direttrice.”

Questa affermazione mi sembra tra l'altro un po' più generale di quella secondo cui l'autospazio relativo all'autovalore 0 dà la direzione dell'asse di simmetria della parabola.

Non riesco a capacitarmi in alcun modo di come sia possibile una cosa del genere, cioè non saprei neanche da che parte cominciare per dimostrarlo...

Chi mi sa aiutare?

[Quinzio]

Se guardi l'equazione $x^2+by^2-y=0$ con $b\in[0,1)$, vedi che è l'equazione di un'ellisse che sta nel semipiano positivo delle ordinate, tocca l'origine e ha l'asse verticale maggiore di quello orizzontale.

Per far diventare quell'ellisse una parabola, si porta $b$ sempre più piccolo e quando si annulla hai una parabola con asse di simmetria l'asse y.
Quindi ecco che l'autovalore minore è l'asse di simmetria.