Parabola
Qualcuno mi sa aiutare a risolvere questo esercizio ?
Determinare la parabola che ha vertice $V (1,0)$, asse di simmetria $x-y-1=0$ E passante per il punti $A (4,1)$.
Grazie
Determinare la parabola che ha vertice $V (1,0)$, asse di simmetria $x-y-1=0$ E passante per il punti $A (4,1)$.
Grazie
Risposte
Sei di fronte ad una parabola avente asse obliquo; per trovarne l'equazione bisogna applicare la definizione di parabola, secondo cui la parabola è il luogo dei punti equidistanti da una retta, detta direttrice, e da un punto, detto fuoco. Vendo l'asse e il vertice possiamo trovare l'equazione della direttrice, sapendo che essa è la retta perpendicolare all'asse passando per il vertice. asse: ×-y-1=0 =>y= x-1
vertice: V (1,0)
la direttrice avrà come coefficiente angolare l'antireciproco dell'asse, essendo ad esso perpendicolare
direttrice: y=-(x-1) =>y=-x+1
Ora bisogna cercare il fuoco; Il fuoco appartiene all'asse ed ha la stessa distanza rispetto al punto A della direttrice:
Calcoliamo la distanza dal punto A alla direttrice, usando la formula della distanza punto- retta; la distanza d costante è 2*$sqrt(2)$
Ora, sapendo che il fuoco appartiene all'asse, possiamo parametrizzarne le coordinate F(k,k-1), e uguagliando la distanza AF a 2$sqrt(2)$ otteniamo che k=2, quindi il fuoco avrà coordinate (2;-1)
Avendo trovato il fuoco e la direttrice, è possibile individuare l'equazione, considerando un punto p(x,y) ed eguagliando la distanza dal fuoco a quella dalla direttrice. Svolgendo i calcoli si otterrà l'equazione:
x^2 + y^2 -2xy -6x +6y+9=0
Mi scusso, sono nuovo e non ho ancora capito come usare simboli matematici; spero di esserti stato d'aiuto
vertice: V (1,0)
la direttrice avrà come coefficiente angolare l'antireciproco dell'asse, essendo ad esso perpendicolare
direttrice: y=-(x-1) =>y=-x+1
Ora bisogna cercare il fuoco; Il fuoco appartiene all'asse ed ha la stessa distanza rispetto al punto A della direttrice:
Calcoliamo la distanza dal punto A alla direttrice, usando la formula della distanza punto- retta; la distanza d costante è 2*$sqrt(2)$
Ora, sapendo che il fuoco appartiene all'asse, possiamo parametrizzarne le coordinate F(k,k-1), e uguagliando la distanza AF a 2$sqrt(2)$ otteniamo che k=2, quindi il fuoco avrà coordinate (2;-1)
Avendo trovato il fuoco e la direttrice, è possibile individuare l'equazione, considerando un punto p(x,y) ed eguagliando la distanza dal fuoco a quella dalla direttrice. Svolgendo i calcoli si otterrà l'equazione:
x^2 + y^2 -2xy -6x +6y+9=0
Mi scusso, sono nuovo e non ho ancora capito come usare simboli matematici; spero di esserti stato d'aiuto
L'equazione indicata da lorenzo purtroppo é quella di una parabola degenere in quanto si riduce a:
$(x-y-3)^2=0$ che si spezza nella retta $x-y-3=0$, contata 2 volte.
Un procedimento più indicato mi sembra quello dei fasci di coniche. Siano allora $V, T_{oo}$
il vertice della parabole ed il punto di contatto (improprio) della parabola con la retta impropria
del piano. La nostra parabola appartiene al fascio di coniche determinato dalla conica che si spezza
nelle rette $VV$ e $T_{oo}T_{oo}$ e dalla conica che si spezza nella retta $VT_{oo}$ contata 2 volte.
Dopo aver osservato che:
la retta $VV$ è la tangente alla parabola nel punto V ovvero è la normale in V all'asse della parabola
la retta $T_{oo}T_{oo}$ è la retta impropria del piano della parabola
la retta $VT_{oo}$ è l'asse della parabola
con facili calcoli si trova che il fascio di coniche in questione ha equazione [in coordinate proiettive x,y,t]:
(1) $\lambda t(x+y-t)+\mu(x-y-t)^2=0$
imponendo il passaggio per $(4,1,1)$, dalla (1) si ha $\lamda=-\mu$ che sostituito nella (1) stessa
restituisce l'equazione (in coordinate non proiettive) della parabola cercata:
[size=150](x-y)^2-3x+y+2=0[/size]
$(x-y-3)^2=0$ che si spezza nella retta $x-y-3=0$, contata 2 volte.
Un procedimento più indicato mi sembra quello dei fasci di coniche. Siano allora $V, T_{oo}$
il vertice della parabole ed il punto di contatto (improprio) della parabola con la retta impropria
del piano. La nostra parabola appartiene al fascio di coniche determinato dalla conica che si spezza
nelle rette $VV$ e $T_{oo}T_{oo}$ e dalla conica che si spezza nella retta $VT_{oo}$ contata 2 volte.
Dopo aver osservato che:
la retta $VV$ è la tangente alla parabola nel punto V ovvero è la normale in V all'asse della parabola
la retta $T_{oo}T_{oo}$ è la retta impropria del piano della parabola
la retta $VT_{oo}$ è l'asse della parabola
con facili calcoli si trova che il fascio di coniche in questione ha equazione [in coordinate proiettive x,y,t]:
(1) $\lambda t(x+y-t)+\mu(x-y-t)^2=0$
imponendo il passaggio per $(4,1,1)$, dalla (1) si ha $\lamda=-\mu$ che sostituito nella (1) stessa
restituisce l'equazione (in coordinate non proiettive) della parabola cercata:
[size=150](x-y)^2-3x+y+2=0[/size]
Grazie a entrambi
"sandroroma":
L'equazione indicata da lorenzo purtroppo é quella di una parabola degenere in quanto si riduce a:
$(x-y-3)^2=0$ che si spezza nella retta $x-y-3=0$, contata 2 volte.
Un procedimento più indicato mi sembra quello dei fasci di coniche. Siano allora $V, T_{oo}$
il vertice della parabole ed il punto di contatto (improprio) della parabola con la retta impropria
del piano.
[size=150](x-y)^2-3x+y+2=0[/size]
Scusate l'intromissione
Non ho capito cosa sia $T_{oo}$, e la retta impropria?
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