Ortogonalizzazione e normalizzazione

[mobley]

1) se $bar(u)= l[ ( 2 ),( 3 ),( 4 ) ] $ e $ bar(t)=k[ ( -2 ),( 0 ),( 1 ) ] $ si ortogonalizzano facendo

$ bar(u)bar(v)=l\cdot k[ ( 2 ),( 3 ),( 4 ) ][ ( -2 ),( 0 ),( 1 ) ] =l\cdotk[-4+0+4]=0 $

come si ortogonalizzano due autovettori del tipo $ bar(v)=l[ ( a ),( b ),( c ) ]+ k[ ( d ),( e ),( f ) ] $ e $ bar(w)=r[ ( x ),( y ),( z ) ] $?
E' giusto scrivere

$ bar(u)bar(v)=(l+k)r[ [ ( a+d ),( b+e ),( c+f ) ] [ ( x ),( y ),( z ) ] ] =(l+k)r[(a+d)x+(b+e)y+(c+f)z] $

oppure devo studiarli separatamente, verificando prima $ (l\cdotr)[ ( a ),( b ),( c ) ][ ( x ),( y ),( z ) ] $ e poi $ (k\cdotr)[ ( d ),( e ),( f ) ][ ( x ),( y ),( z ) ] $?

2) se $bar(u)$ si normalizza come

$ root()({::}4l^2+9l^2+16l^2 ) =1 ->root()(29l^2)=1->29l^2=1->{::}text(l)_(\ \ 1) =1/(root()29)->{::}text(u)_(\ \ 1)={::}text(l)_(\ \ 1)[ ( 2 ),( 3 ),( 4 ) ] $

come si normalizza un autovettore del tipo $ bar(v)=l[ ( a ),( b ),( c ) ]+ k[ ( d ),( e ),( f ) ] $ ? Devo normalizzare i due autovettori separatamente?

[Vicia]

Per normalizzare un vettore devi individuare per prima cosa la norma del vettore, e poi dividere tutte le componenti del vettore per la norma. Ottenendo così un vettore la cui norma è 1

[mobley]

Scusa ma non ho capito quello che hai scritto.
In ogni caso non risponde alle due domande che ho fatto

[anto_zoolander]

1) Per questa non ti basta sapere che

$v$ e $w$ sono ortogonali se e solo se $lv$ e $kw$ sono ortogonali con $l ne0nek$

Infatti se $v*w=0$ allora $(lv)*(kw)=(lk)(v*w)=(lk)0=0$

E se $(lv)*(kw)=0$ allora $0=(lk)(v*w)=>(v*w)=0$ poiché $l$ e $k$ sono entrambi non nulli

Quindi non hai nulla da ortogonalizzare perché sono già ortogonali per qualsiasi valore di $l,k$

Se poi vuoi normalizzare i vettori ti basta sapere che

$||kv||=|k| ||v||$ poiché se $v$ non è il vettore nullo allora $||v||ne0$ pertanto

$||v/(||v||)||=1/(||v||)*||v||=1$

Pertanto se hai un vettore $v$ e vuoi normalizzarlo, basta calcolare il vettore $v/||v||$

Ora una piccola precisazione. Il vettore $(-2,0,1)^t$ chi è? Cioè è un vettore di $K^3$? Oppure è un vettore ottenuto tramite un isomorfismo? Per intenderci se hai uno spazio $V$ di dimensione $3$ allora $VcongK^3$ tramite diciamo l'isomorfismo standard

Ovvero fissata una base di $V$ $B={v_1,v_2,v_3}$

$(-2,0,1)^t=-2v_1+v_3$

Ossia quello che hai tu è un vettore o un vettore delle coordinate?

Finita questa digressione supponendo che il tuo sia un vettore e che siamo su $K^3$ considerando il ps standard e come base quella canonica allora

$||(-2,0,1)^t||=sqrt(4+1)=sqrt5$

Dunque il vettore $(-2/sqrt5,0,1/sqrt5)^t$ è il 'vettore normalizzato' di $(-2,0,1)^t$

[Vicia]

"mobley":Scusa ma non ho capito quello che hai scritto.
In ogni caso non risponde alle due domande che ho fatto

Scusami ho letto velocemente e pensavo che la tua domanda fosse come si ortogonalizzava

[mobley]

ok quindi se ho questi due vettori

$ bar(x)=l[ ( -1 ),( 0 ),( 1 ) ] +k[ ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ] $

e

$ bar(y)=t[ ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ] $

come li ortogonalizzo e poi normalizzo? Potresti farmi vedere i passaggi?

[mobley]

riprendo questa mia vecchia discussione sperando in una vostra risposta

se ho un vettore composto da "due pezzi" e uno "semplice" come ne dimostro l'ortogonalità tra i due, e normalizzo il vettore a "due pezzi"? cioè
1) per dimostrare l'ortogonalità devo fare prima $ bar(u)\cdotbar(v)=l\cdott[ ( -1 ),( 0 ),( 1 ) ][ ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ] $, e poi di nuovo $ bar(u)\cdotbar(v)=k\cdott[ ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ][ ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ] $, oppure direttamente $ bar(u)\cdotbar(v)=(l+k)\cdott[ ( (-1+0) ),( (0+1) ),( (1+0) ) ][ ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ] $?

2) per la normalizzazione devo fare prima $ root()(l^2+l^2)=root()(2l^2)=1->2l^2=1->l^2=1/2 ->l1=1/(root()(2))->||bar(u)||=l1[ ( -1 ),( 0 ),( 1 ) ] $, e poi di nuovo $ root()(k^2)=1->k^2=1->k1=1 ->||bar(u)||= k1[ ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ] $ così da ottenere $ bar(u)=l1[ ( -1 ),( 0 ),( 1 ) ]+k1[ ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ] $, oppure direttamente $ bar(u)=root()(l^2+l^2+k^2)=root()(2l^2+k^2)=1->2l^2+k^2=1 $ (anche se poi non saprei come continuare...)?