Ortogonalità e indipendenza

[qwertyuio1]

E' vero che se $v_1,...,v_s$ sono vettori linearmente indipendenti e $w!=0$ è un vettore ortogonale a ciascun $v_i$, allora $v_1,...,v_s,w$ sono ancora linearmente indipendenti?
Intuitvamente (pensando in $RR^n$) mi sembra molto sensato, tuttavia non riesco a dimostrarlo. Mi date una mano?

[cirasa]

E' vero.
Per la dimostrazione prova a fare con il classico metodo: supponi di avere una combinazione lineare nulla
[tex]\displaystyle \sum_{k=1}^s\alpha_kv_k+\beta w=0[/tex]
e dimostra che ogni coefficiente è nullo, cioè che [tex]a_1=\dots=\alpha_s=\beta=0[/tex].

Io proverei a dimostrare prima che [tex]\beta=0[/tex] e che [tex]\displaystyle \sum_{k=1}^s\alpha_kv_k=0[/tex] (per poi sfruttare la lineare indipendenza di [tex]v_1,\dots,v_s[/tex])...
Facci sapere se riesci a concludere

[qwertyuio1]

Sì! Ce l'ho fatta: supponendo la combianzione lineare nulla ho
$0=<\sum_{k=1}^s\alpha_kv_k+\beta w,w> =\sum_{k=1}^{s}\alpha_k+\beta =\beta ||w||^2$
quindi, visto che $w!=0$ dev'essere $\beta=0$.
Ma allora la combinazione lineare nulla è una combinazione dei soli $v_k$. Questi sono linearmente indipendenti per ipotesi e dunque dev'essere anche $\alpha_k=0 \forall k$.
Grazie del suggerimento

[cirasa]