Ortogonalità

[Prime1]

avrei bisogno di una mano a risolvere questo esercizio, ho pensato molto ma non ne sono venuto a capo.


sia W = {[x - 2y - z, 2x + y +3z, y+z] x,y,z in R} un sottspazio di R^3.

Mi si chiede ti trovare tutti i vettori di W ortogonali a [0, 5, 1]

Grazie

[apatriarca]

Cancellate pure questo messaggio che mi ero sbagliato...

[Prime1]

usando il teorema ottengo che un base di W(ortogonale) = [(1,2,0),(-2,1,1)] che coincide con la base del sottospazio oltretutto.
Una volta fatto questo come trovo tutti i vettori di W ortogonali a (0,5,1)?

E' poi possibile che la base del sottospazio e del sottospazio ortogonale sia la stessa ?

[apatriarca]

Mi sono appena reso conto di aver detto cose non del tutto corrette nel mio scorso post. Per prima cosa vediamo di capire bene che cosa ti chiede l'esercizio. Dato un qualsiasi vettore $\lambda$ di $RR^3$, i vettori $v$ a lui ortogonali formano un piano di equazione $ = 0$. I vettori di $W$ perpendicolari a $[0, 5, 1]$ sono quindi i vettori contenuti nell'intersezione di $W$ con il piano $5y + z = 0$. Per trovare l'intersezione conviene scrivere $W$ in forma cartesiana e poi mettere a sistema tutte le equazioni trovate. Se $W$ è il piano generato da quei vettori (non ho voglia di fare i calcoli), allora $W$ è il piano di equazione $2x - y + 5z = 0$ e l'intersezione è la retta data dal sistema
$\{(5y + z = 0), (2x - y + 5z = 0):}$

[Prime1]

ho capito e ti ringrazio, una cosa solo non mi è ancora del tutto chiara : dato $W$ che è il sottospazio detto nel primo post, come hai trovato la sua equazione del piano $2x - y +5z = 0$?

[apatriarca]

$(2, -1, 5)$ è l'unico vettore perpendicolare ai due vettori della base di $W$.