Ortogonale di una retta e di un piano
ciao, ho un problema con un esercizio: ho una retta in $R^3$ con la sua equazione , e devo trovare la sua ortogonale. So come trovare l'ortogonale in $R^2$, ma in $R^3$ come devo fare? poi , in un esercizio d'esame si chiede di trovare il piano passante per tre punti ( c'è una formula, ho capito come si fa ) e poi trovare il piano ortogonale al piano trovato. E' quest'ultimo punto ( trovar el'ortogonale ) che mi crea difficoltà. Grazie mille a tutti
Risposte
"jennyv":
e poi trovare il piano ortogonale al piano trovato
Bello questo. Come si fa? Ah, no aspetta: la dimensione dello spazio ortogonale ad un piano in [tex]\mathbb R^3[/tex] è 1, quindi è impossibile...
"maurer":
[quote="jennyv"]e poi trovare il piano ortogonale al piano trovato
Bello questo. Come si fa? Ah, no aspetta: la dimensione dello spazio ortogonale ad un piano in [tex]\mathbb R^3[/tex] è 1, quindi è impossibile...[/quote]
Intendeva dire perpendicolare penso... E in questo caso ne esistono infiniti. Nello stesso modo in cui esistono infinite rette ortogonali alla retta data (in questo caso ha senso ma comunque immagino che dire perpendicolare sia meglio).
No aspetta un attimo... mi vuoi davvero far credere che in [tex]\mathbb R^3[/tex] esistono infiniti piani perpendicolari ad uno assegnato?
Io non saprei neanche trovarne uno perpendicolare, ad esempio, a [tex]z = 0[/tex]. Tu sì? A scapito di malintesi, per me due sottospazi sono ortogonali se ogni vettore del primo è ortogonale ad ogni vettore del secondo.
Io non saprei neanche trovarne uno perpendicolare, ad esempio, a [tex]z = 0[/tex]. Tu sì? A scapito di malintesi, per me due sottospazi sono ortogonali se ogni vettore del primo è ortogonale ad ogni vettore del secondo.
In ogni caso, non vorrei confondere troppo le idee a jennyv.
Il complemento ortogonale di un sottospazio è sempre unico. Di fatto, le sue coordinate sono le coordinate del duale del sottospazio stesso, ma non credo che abbiate fatto la dualità.
In ogni caso, se [tex]\mathcal B = (\mathbf v_1, \mathbf v_2, \ldots, \mathbf v_k)[/tex] è una base del tuo sottospazio, allora il complemento ortogonale è l'insieme delle soluzioni del sistema lineare
[tex]\begin{cases} < \mathbf v_1, \mathbf x > = 0 \\ \vdots \\ < \mathbf v_k, \mathbf x > = 0 \end{cases}[/tex]
sempre, in ogni dimensione.
Se [tex]V[/tex] è uno spazio vettoriale euclideo, e [tex]W[/tex] è un suo sottospazio, allora il suo complemento ortogonale si denota solitamente con [tex]W^{\bot}[/tex] ed è ottenuto come ho descritto sopra. Inoltre vale l'importante relazione [tex]W \oplus W^{\bot} = V[/tex], cioè uno spazio ed il suo complemento ortogonale sono supplementari. Da questo segue anche facilmente che [tex]\text{dim}(W^\bot) = \text{dim}(V) - \text{dim}(W)[/tex].
Quindi il complemento ortogonale di una retta in [tex]\mathbb R^2[/tex] è una retta, in [tex]\mathbb R^3[/tex] un piano e così via... Il complemento ortogonale di una retta è sempre un iperpiano, e viceversa, perché [tex](W^\bot)^\bot = W[/tex]. Quindi il complemento ortogonale di un piano in [tex]R^3[/tex] è una retta.
In particolare, se in [tex]\mathbb R^3[/tex] consideriamo il piano [tex]a x + by + c z = 0[/tex], allora il complemento ortogonale sarà [tex]\langle (a,b,c) \rangle[/tex]. Sorpresa?
Il complemento ortogonale di un sottospazio è sempre unico. Di fatto, le sue coordinate sono le coordinate del duale del sottospazio stesso, ma non credo che abbiate fatto la dualità.
In ogni caso, se [tex]\mathcal B = (\mathbf v_1, \mathbf v_2, \ldots, \mathbf v_k)[/tex] è una base del tuo sottospazio, allora il complemento ortogonale è l'insieme delle soluzioni del sistema lineare
[tex]\begin{cases} < \mathbf v_1, \mathbf x > = 0 \\ \vdots \\ < \mathbf v_k, \mathbf x > = 0 \end{cases}[/tex]
sempre, in ogni dimensione.
Se [tex]V[/tex] è uno spazio vettoriale euclideo, e [tex]W[/tex] è un suo sottospazio, allora il suo complemento ortogonale si denota solitamente con [tex]W^{\bot}[/tex] ed è ottenuto come ho descritto sopra. Inoltre vale l'importante relazione [tex]W \oplus W^{\bot} = V[/tex], cioè uno spazio ed il suo complemento ortogonale sono supplementari. Da questo segue anche facilmente che [tex]\text{dim}(W^\bot) = \text{dim}(V) - \text{dim}(W)[/tex].
Quindi il complemento ortogonale di una retta in [tex]\mathbb R^2[/tex] è una retta, in [tex]\mathbb R^3[/tex] un piano e così via... Il complemento ortogonale di una retta è sempre un iperpiano, e viceversa, perché [tex](W^\bot)^\bot = W[/tex]. Quindi il complemento ortogonale di un piano in [tex]R^3[/tex] è una retta.
In particolare, se in [tex]\mathbb R^3[/tex] consideriamo il piano [tex]a x + by + c z = 0[/tex], allora il complemento ortogonale sarà [tex]\langle (a,b,c) \rangle[/tex]. Sorpresa?
ciao, vi scrivo la traccia dell'esercizio:
siano $ A [1,2,1], B=[-1,0,2], C=[5,6,-1] $
1)verificare che i punti sono allineati(lo so fare)2) in caso affermativo
determinare la retta cartesiana r* che li contiene( lo so fare)
3) altrimenti determinare il pian o cartesiano b *che li contiene
4)se affermaitvo ( caso punti allineati) determinare una retta perpendicolare a r*
)5 altrimenti determinae il piano perpendicolare a b*
come già ho detto , non so fare i punti in cui mi si chiede di trovare il piano e la retta perpendicolare. grazie mille
siano $ A [1,2,1], B=[-1,0,2], C=[5,6,-1] $
1)verificare che i punti sono allineati(lo so fare)2) in caso affermativo
determinare la retta cartesiana r* che li contiene( lo so fare)
3) altrimenti determinare il pian o cartesiano b *che li contiene
4)se affermaitvo ( caso punti allineati) determinare una retta perpendicolare a r*
)5 altrimenti determinae il piano perpendicolare a b*
come già ho detto , non so fare i punti in cui mi si chiede di trovare il piano e la retta perpendicolare. grazie mille
I tre punti sono allineati. Quindi prendiamo la retta che li congiunge: ad esempio, in forma parametrica, [tex]r(t) = (2t + 1,2t + 2,1 - t)[/tex]. Ora, la retta è parallela al vettore [tex](2,2,-1) = (1,2,1) - (-1,0,2)[/tex]. Pertanto una possibile equazione del piano ad essa ortogonale è [tex]2 x + 2 y - z = 0[/tex]. Se vuoi una retta ortogonale a [tex]r[/tex], prendi una qualsiasi retta appartenente a questo piano. Ad esempio
[tex]\begin{cases} 2x + 2y - z = 0 \\ z = 0 \end{cases}[/tex]
che ha equazioni parametriche [tex]r'(t) = (t,-t,0)[/tex]. Adesso fai passare questa retta per un punto per cui passa anche [tex]r[/tex], ad esempio [tex](1,2,1)[/tex]. Ottieni [tex]r^*(t) = (t+1,2-t,1)[/tex]. Se controlli si ha [tex]< r^*(t) - (1,2,1), r(s) - (1,2,1) > = 2ts -2ts + 0\cdot s = 0[/tex], che dimostra che effettivamente le due rette sono ortogonali tra di loro.
Comunque, torno a ripetere che, per lo meno nel modo in cui conosco io le definizioni, in [tex]\mathbb R^3[/tex] è impossibile determinare un piano ortogonale ad un altro piano. Questo è perché ogni sottospazio ortogonale ad un piano dovrebbe essere per forza contenuto nel complemento ortogonale del piano stesso, che è una retta. E un piano non può essere contenuto in una retta.
[tex]\begin{cases} 2x + 2y - z = 0 \\ z = 0 \end{cases}[/tex]
che ha equazioni parametriche [tex]r'(t) = (t,-t,0)[/tex]. Adesso fai passare questa retta per un punto per cui passa anche [tex]r[/tex], ad esempio [tex](1,2,1)[/tex]. Ottieni [tex]r^*(t) = (t+1,2-t,1)[/tex]. Se controlli si ha [tex]< r^*(t) - (1,2,1), r(s) - (1,2,1) > = 2ts -2ts + 0\cdot s = 0[/tex], che dimostra che effettivamente le due rette sono ortogonali tra di loro.
Comunque, torno a ripetere che, per lo meno nel modo in cui conosco io le definizioni, in [tex]\mathbb R^3[/tex] è impossibile determinare un piano ortogonale ad un altro piano. Questo è perché ogni sottospazio ortogonale ad un piano dovrebbe essere per forza contenuto nel complemento ortogonale del piano stesso, che è una retta. E un piano non può essere contenuto in una retta.
grazie mille. Ma quindi i posso trovare la retta imponendo come vettore direttore $2,2-1]$ e poi imponedo il passaggio per un puntp della retta r?
Sì. Ti è chiaro da dove salta fuori [tex](2,2,-1)[/tex]?
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