Orientabilità varietà quasi complesse

[banach]

Salve a tutti, qualcuno sa dirmi perché una varietà quasi complessa è orientabile? In particolare vorrei sapere perché la 2n- forma differenziale e_1\wedge ...\wedge e_n \wedge J(e_1) \wedge ... \wedge J(e_n) è una forma mai nulla.
Grazie mille

[banach]

ovviamente con J indico la struttura quasi complessa

[killing_buddha]

Confornta il Remark dopo la Definizione 1.5 qui. L'esistenza di varieta' even-dimensional orientabili, ma senza una struttura quasicomplessa e' dovuta se non erro ad Ehresmann e Hopf, che hanno trovato che $S^4$ non l'ha. Questo e' legato a un risultato piuttosto profondo sulla parallelizzabilita' delle sfere: Kirchhoff ha dimostrato che se S^n ammette una struttura quasi complessa, allora $S^{n+1}$ e' parallelizzabile; d'altra parte il teorema di Adams dice che le uniche sfere parallelizzabili sono S^1, S^3, S^7, cosicche' le uniche sfere che ammettono una struttura quasi complessa (e che quindi possono ammettere una struttura complessa) sono S^2 ed S^6.

[banach]

Grazie, questa dimostrazione l'avevo già trovata e non capisco o meglio non so spiegare in modo preciso p
ercbé posso sempre scegliere una base del tipo e1,...,en,Je1,...,Jen in modo tale che la base coordinata del tangente sia orientata positivamente rispetto alla prima... Sai dirmelo?

[killing_buddha]

I sottospazi $\langle e_1,..., e_n\rangle$ e $\langle Je_1,..., Je_n\rangle$ mi danno l'dea di essere ortogonali. Purtroppo adesso sono di corsa, dove trovi il problema preciso nel dimostrare che lo sono?

[banach]

ok, ma non so dire perché la base coordinata \{\frac{\partial}{\partial x_1},...,\frac{\partial}{\partial x_n}} si può orientare come quella con i J