Orientabilità e numero di bande

[Pierlu11]

Salve a tutti, avrei una serie di domande più o meno correlate sull'orientabilità (di una superficie) e il numero di bande...
1) Il concetto di orientabilità come esistenza di un atlante orientato su una varietà liscia nasce solo allo scopo di definire una teoria di integrazione su varietà oppure per formalizzare la particolarita del nastro di Moebius e simili?
2) Il numero di bande è una questione esclusivamente topologia e quindi ha una "definizione" propria scollegata dall'orientabilità?
3) Per una superficie, essere a una banda e non essere orientabile è la stessa cosa o è equivalente, cioè c'è una dimostrazione che lega le due proprietà o sono per definizione la stessa cosa?

[j18eos]

L'orientabilità, sostanzialmente ti permette di estendere il calcolo integrale sulle superfici mediante l'integrazione delle forme differenziali; il nastro di Moebius e gli spazi proiettivi reali di dimensione pari li puoi comunque definire senza pensare all'orientabilità!

Ignoro il cosa tu intenda per banda...

[Pierlu11]

Con superficie "a una banda" intendo una superficie unilatera (nastro di Moebius), mentre "a due bande" quella bilatera (cilindro)...

[j18eos]

Mmmh!

Per quanto leggo, la banda è solo una idea non bene formalizzata... O mi sfugge qualcosa?

[Epimenide93]

Mi trovo d'accordo con j18eos. Le superfici bidimensionali sono... bidimensionali, per l'appunto, non c'è un "sopra" o un "sotto", quando tu fissi un punto su una superficie quel punto "lo vedi sia da sopra che da sotto", anche nel cilindro (suggerimento: pensa a un punto su un cilindro fisico come a un buco, non come ad una macchia); se ne parla in questi termini giusto per dare un'idea intuitiva (dalla cui osservazione è probabilmente partito poi lo studio che ha portato ad un'assiomatizzazione), che spesso torna sicuramente comoda. Come accade spesso in matematica, il concetto di orientabilità si estende anche a varietà di dimensione maggiore di due, e lì l'intuizione cade, non si può parlare di bande, ma il carattere di orientabilità resta. In sostanza, direi che il concetto di "numero di bande" non è proprio un concetto matematico (potrei essere smentito, ma ne resterei sorpreso), ma solo una cosa "per capirsi".

Quanto alla prima domanda:

"Pierlu11":1) Il concetto di orientabilità come esistenza di un atlante orientato su una varietà liscia nasce solo allo scopo di definire una teoria di integrazione su varietà oppure per formalizzare la particolarita del nastro di Moebius e simili?

sono praticamente certo che la risposta sia no. Motivo: io non ho ancora studiato l'integrazione su varietà, ma il concetto di orientabilità mi è stato presentato e definito in un'altro contesto (Topologia Algebrica), con una sua motivazione in quel contesto (un po' lunga da spiegare in dettaglio; in ogni caso è comunque una proprietà invariante per [strike]equivalenza omotopica[/strike] omeomorfismo, quindi è una delle proprietà utili a caratterizzare uno spazio e possibilmente classificarlo).

Se ti interessa, nel primo capitolo del Massey viene fatto un discorso semi-intuitivo interessante sull'orientabilità, la lettura può essere utile per vedere la questione anche da un punto di vista leggermente diverso ma comunque ancora prevalentemente intuitivo.

[j18eos]

"Epimenide93":...il concetto di orientabilità mi è stato presentato e definito in un'altro contesto (Topologia Algebrica), con una sua motivazione in quel contesto (un po' lunga da spiegare in dettaglio; in ogni caso è comunque una proprietà invariante per equivalenza omotopica...

Sicuro?!? La circonferenza, il cilindro e il nastro di Moebius con la topologia naturale come sono?

[Epimenide93]

Hai ragione, ho corretto scrivendo omeomorfismo.