Opertari Hermitiani ed autoaggiunti

[ivans1984]

Salve a tutti

Sto studiando analisi funzionale e vorrei un aiuto nel dimostrare perché
, in uno spazio vettoriale, un'operatore limitato, se hermitiano, è anche autoaggiunto.

mentre non vale nel caso in cui un operatore non è limitato.


a me non occorre una dimostrazione rigorosa, solo un'idea che permetta
di chiarire il concetto

grazie

[dissonance]

Ma guarda è proprio la definizione. "Operatore hermitiano" è quell'operatore che è esteso dal proprio aggiunto: $A \subset A^star$. Ma se parli di operatori limitati, questi sono sempre definiti ovunque perciò non può che essere $A=A^star$.

[ivans1984]

Ok ti ringrazio

ma se ho un operatore A non limitato
in base a quale criterio si definisce l'insieme di definizione dell'aggiunto di A?

[dissonance]

Beh, ma basta leggere la definizione. Sia $H$ uno spazio di Hilbert e $A$ un operatore lineare di $H$ in sé. Si dice che $y$ è nel dominio dell'aggiunto di $A$ ($y \in D(A^\star)$) se esiste un vettore $y^star$ tale che

$(Ax, y)=(x, y^star)$ per ogni $x \in D(A)$ (="dominio di $A$").

Equivalentemente, $y \in D(A^\star)$ se e solo se la forma lineare $x\in D(A) \mapsto (Ax, y)$ è continua.

[ivans1984]

quindi anche se un operatore A è non limitato, comunque può corrispondergli una forma lineare continua?

[ivans1984]

quindi anche se un operatore A è non limitato, comunque può corrispondergli una forma lineare continua?