\( \operatorname{cl} A=A\cup\partial A=\operatorname{int} A\cup\partial A \)
Ciao. Mi sono un attimo bloccato su questa cosa. Sia \( X \) uno spazio e \( A\subset X \). Per chiusura \( \operatorname{cl} A \) di \( A \) intendo (finalmente, perché è più comodo) il più piccolo chiuso contenente \( A \), e similmente do l'interno \( \operatorname{int} A \). Definisco inoltre la frontiera \( \partial A \) come \( X\setminus\left(\operatorname{int} A\cup\operatorname{ext} A\right) \), dove \( \operatorname{ext} A \) denota l'esterno \( X\setminus\operatorname{cl} A \) di \( A \). Finite le preghiere, procedo come segue.
Detta \( \mathcal{C}_A \) la famiglia degli aperti contenuti in \( A \), la frontiera di questo insieme dovrebbe essere l'intersezione \[ \partial A = \left(X\setminus{\bigcup_{C\in\mathcal{C}_A}C}\right)\cap\operatorname{cl} A = \left(\bigcap_{C\in\mathcal{C}_A}X\setminus C\right)\cap\operatorname{cl} A \] Al primo termine compare la chiusura di \( X\setminus A \): preso un aperto \( C\subset A \), il suo complementare è banalmente un sovrainsieme chiuso di \( X\setminus A \) e al contrario vale lo stesso. Riscrivendo in forma più carina abbiamo \[ \partial A = \operatorname{cl} A\cap\operatorname{cl}\left(X\setminus A\right) \]
La seconda parte è più semplice. Abbiamo direttamente \[ \operatorname{int} A\cup X\setminus\left(\operatorname{int} A\cup\operatorname{ext} A\right)=\operatorname{int} A\cup\left(X\setminus\operatorname{int} A\cap X\setminus\operatorname{ext} A\right)=\operatorname{int} A\cap\left(X\setminus\operatorname{ext} A\right)=\operatorname{int} A\cup\operatorname{cl} A \] che altro non è che la chiusura.
Nel caso fosse giusto, sarei felice di sapere se ci fosse anche un modo più "veloce" per far vedere la cosa, perché a occhio è ovvia.
Detta \( \mathcal{C}_A \) la famiglia degli aperti contenuti in \( A \), la frontiera di questo insieme dovrebbe essere l'intersezione \[ \partial A = \left(X\setminus{\bigcup_{C\in\mathcal{C}_A}C}\right)\cap\operatorname{cl} A = \left(\bigcap_{C\in\mathcal{C}_A}X\setminus C\right)\cap\operatorname{cl} A \] Al primo termine compare la chiusura di \( X\setminus A \): preso un aperto \( C\subset A \), il suo complementare è banalmente un sovrainsieme chiuso di \( X\setminus A \) e al contrario vale lo stesso. Riscrivendo in forma più carina abbiamo \[ \partial A = \operatorname{cl} A\cap\operatorname{cl}\left(X\setminus A\right) \]
Dovrei ora provvedere a mostrare che \( A\cup\left(\operatorname{cl} A\cap\operatorname{cl}\left(X\setminus A\right)\right) \) è proprio la chiusura di \( A \); non sto assumendo che \( A \) sia un aperto, ma un insieme qualunque, per cui nessuno mi assicura che \( \operatorname{cl}\left(X\setminus A\right)=X\setminus A \).
La seconda parte è più semplice. Abbiamo direttamente \[ \operatorname{int} A\cup X\setminus\left(\operatorname{int} A\cup\operatorname{ext} A\right)=\operatorname{int} A\cup\left(X\setminus\operatorname{int} A\cap X\setminus\operatorname{ext} A\right)=\operatorname{int} A\cap\left(X\setminus\operatorname{ext} A\right)=\operatorname{int} A\cup\operatorname{cl} A \] che altro non è che la chiusura.
Nel caso fosse giusto, sarei felice di sapere se ci fosse anche un modo più "veloce" per far vedere la cosa, perché a occhio è ovvia.
Risposte
Scusa una cosa se $partialA=overline(A)capoverline(XsetminusA)$ allora segue subito
Basta ricordare che $A^osubsetoverline(A)$ e $overline(XsetminusA)=XsetminusA^o$
Per l’altro è lo stesso basta considerare che
Nota che la tua definizione è equivalente in quanto
$partialAcupA^o=[overline(A)capoverline(XsetminusA)]cupA^o=overline(A)cap[(XsetminusA^o)cupA^o]=overline(A)$
Basta ricordare che $A^osubsetoverline(A)$ e $overline(XsetminusA)=XsetminusA^o$
Per l’altro è lo stesso basta considerare che
$A^o subsetA => X=(XsetminusA^o)cupA^osubset(XsetminusA^o)cupA$
Nota che la tua definizione è equivalente in quanto
$(A^o cup A^e)^c=(A^o)^c cap(A^e)^c=overline(XsetminusA)capoverlineA$
Grazie per la risposta. Mi è venuta un’illuminazione per il primo punto.
Per ogni spazio \(X\) e ogni \(A\subset X\) vale \[\textstyle X=\operatorname{int} A\coprod\partial A\coprod\operatorname{ext} A\] e quindi la tesi segue immediatamente.
Per ogni spazio \(X\) e ogni \(A\subset X\) vale \[\textstyle X=\operatorname{int} A\coprod\partial A\coprod\operatorname{ext} A\] e quindi la tesi segue immediatamente.
Esatto.
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