Operatori su spazio a dim infinita

[ssuag83]

Perdonatemi l'ignoranza, dato un operatore densamente definito su H(infinito dimensionale), non è detto che la sua chiusura abbia dominio corrispondente a tutto H?
Il problema mi è sorto da vari quesiti, tra i quali:
--Trasformata di Caley, che si propone di trovare tutte le possibili estensioni autoaggiunte a partire da un operatore densamente definito e chiuso.
--Operatore posizione che con dominio opportuno(f: xf appartiene ad L2), denso in H, è autoaggiunto, ma l'aggiunto di un operatore densamente definito è sempre chiuso, quindi??
Aiutatemi!

[ViciousGoblin]

Perdonatemi l'ignoranza, dato un operatore densamente definito su H(infinito dimensionale), non è detto che la sua chiusura abbia dominio corrispondente a tutto H?

Purtroppo (o per fortuna ???) no, se l'operatore (che immagino sia lineare) non è limitato. Il primo esempio che mi viene in mente è l'operazione di derivata che si definisce su
un sottospazio denso delle funzioni continue con la norma uniforme (le funzioni derivabili per l'appunto) e non è estendibile a tutte le continue.
Te ne faccio un altro (collegato con quello di prima tramite le serie di Fourier). Prendi $H=l_2:={(a_n) : \sum_{n=0}^\infty a_n^2<+\infty}$ (successioni a quadrato sommabile).
Prendi $H'={(a_n): a_n=0 " da un certo n in poi"}$. Non è difficile vedere che $H'$ è un sottospazio denso di $H$ ( stiamo usando in $H$ la norma di $l_2$ $||(a_n)||^2=\sum_n a_n^2$ ).
Definisci $D$ su $H'$ mediante $D(a_n):=(na_n)$. Si capisce che $D$ si può estendere solo alle successioni $(a_n)$ con la proprietà $\sum_n n^2a_n^2<+\infty$, successioni
che non esauriscono $H$.

Ma di esempi ce ne sono a bizzeffe