Operatori simultaneamente triangolarizzabili

[ale.b14]

Dovrei dimostrare la seguente proposizione:

"Sia $V$ un $\mathbb{K}$-spazio vettoriale di dimensione finita e siano $f,g :V->V$ due endomorfismi di $V$ tali che:
(i) $f$ e $g$ commutino;
(ii) tutti gli autovalori di $f$ e $g$ siano nel campo $mathbb{K}$.
Allora esiste una base di $V$ che triangolarizza simultaneamente $f$ e $g$."

Sinceramente non so che pesci pigliare, ho fatto qualche tentativo deboluccio che non mi ha portato a granchè...
Avrei veramente bisogno di un piccolo input!
Grazie mille

[dissonance]

Quando \(f\) e \(g\) commutano, gli autospazi dell'uno sono invarianti rispetto all'altro. Ovvero, se \(v\) è un \(\lambda\)-autovettore di \(g\), pure \(f(v)\) lo è. Mi pare di ricordare che tale osservazione sia centrale in questo esercizio.

[ale.b14]

Sì, questo l'ho dimostrato:

Sia $v$ un $\lambda$-autovettore di g; allora:
$g(f(v))=f(g(v))=f(\lambdav)=\lambdaf(v)$
quindi anche $f(v)$ è $\lambda$-autovettore di g.

In teoria dovrei dimostrare ora che esiste un autovettore simultaneo di $f$ e $g$... Mi può essere utile questa digressione?

[dissonance]

E si, perché poi dopo te ne vai per induzione, mimando la dimostrazione del fatto

(\(f\) è triangolarizzabile) \(\iff\) (\(f\) ha tutti gli autovalori in \(\mathbb{K}\)).

MI pare di ricordare che questo approccio funziona.