Operatori, funzioni di matrici
Ho un piccolo dubbio su questo esercizio:
Data \( A=\begin{bmatrix}
a & & & 1\\
& a & & \\
& & a & \\
& & & a
\end{bmatrix}\). ( Ove ho omesso gli zeri al posto degli spazi vuoti per rapidità). Calcolare l'inversa di $C = A^n, n \in [2,3,...]$
Vabbè ho riconosciuto che $A = aId_4 + B$, ove \( B =\begin{bmatrix}
& & & 1\\
& & & \\
& & & \\
& & &
\end{bmatrix}\)
Anche qui stessa notazione breve per gli zeri.
Le potenze di $B^n, n>1$ sono tutte nulle. Alla fine ,dopo un pò di semplici calcoli che ometto, ho ottenuto(stessi di un messaggio precedente, fatti da parte di megas_archon
):
$A^n = a^n(Id_4+nB/a)$
Da qui ho avuto un blocco e non riuscito a trovare l'inversa:
$C^-1 = a^{-n}(Id_4+nB/a)^{-1}$
Ho paura che la soluzione sia più semplice del previsto e che non stia ragionando lucidamente. Resta il fatto che non so come trattare quel termine tra parentesi
Ringrazio chi vorrà aiutarmi. In caso la soluzione fosse molto semplice, o avessi commesso qualche sacrilegio non esitate a sottolinearlo (siate sempre clementi hahaha)
Data \( A=\begin{bmatrix}
a & & & 1\\
& a & & \\
& & a & \\
& & & a
\end{bmatrix}\). ( Ove ho omesso gli zeri al posto degli spazi vuoti per rapidità). Calcolare l'inversa di $C = A^n, n \in [2,3,...]$
Vabbè ho riconosciuto che $A = aId_4 + B$, ove \( B =\begin{bmatrix}
& & & 1\\
& & & \\
& & & \\
& & &
\end{bmatrix}\)
Anche qui stessa notazione breve per gli zeri.
Le potenze di $B^n, n>1$ sono tutte nulle. Alla fine ,dopo un pò di semplici calcoli che ometto, ho ottenuto(stessi di un messaggio precedente, fatti da parte di megas_archon
):$A^n = a^n(Id_4+nB/a)$
Da qui ho avuto un blocco e non riuscito a trovare l'inversa:
$C^-1 = a^{-n}(Id_4+nB/a)^{-1}$
Ho paura che la soluzione sia più semplice del previsto e che non stia ragionando lucidamente. Resta il fatto che non so come trattare quel termine tra parentesi
Ringrazio chi vorrà aiutarmi. In caso la soluzione fosse molto semplice, o avessi commesso qualche sacrilegio non esitate a sottolinearlo (siate sempre clementi hahaha)
Risposte
"SteezyMenchi":
Ho paura che la soluzione sia più semplice del previsto.
Si, infatti non devi fare nulla per trovare l'inversa, ce l'hai gia'.
Nel senso che $C^-1 = A^n$ con $n = -1$ quindi $A^-1$
$A^-1 = a^-1(Id_4 + -1 B /a) = a^-1 Id_4 -a^-2 B$
$A^-2 = a^-2(Id_4 + -2 B /a) = a^-2 Id_4 -2a^-3 B$
$A^-3 = a^-3(Id_4 + -3 B /a) = a^-3 Id_4 -3a^-4 B$
ecc..
Inoltre, in modo coerente,
$A^0 = a^0(Id_4 + 0 B /a) = Id_4$
Scusa Quinzio ho dimenticato di aggiungere una condizione sull'esponente $n$, ed esso parte da $2$. Perciò il tuo calcolo non si accorda con tale condizione. Mi scuso con te in primis e con il forum per la svista.
Credo che ci sia qualche modo strano per calcolare l'inversa, però non ne vedo altri al momento
Credo che ci sia qualche modo strano per calcolare l'inversa, però non ne vedo altri al momento
Ho provato a mettere tutto su matrixcalc per vedere quale sia la soluzione, ottenendo quando segue:
Per $n=5$ ho ottenuto che l'inversa è pari a
\(
\begin{bmatrix}
1/a^5 & & & -5/a^6\\
& 1/a^5& &\\
& & 1/a^5 &\\
& & & 1/a^5
\end{bmatrix}
\)
La struttura dell'inversa adesso la conosco ma continuo a non capire come uno possa arrivarci, se non facendo tanti calcoli per $n$ qualsiasi, quindi determinante, matrice dei cofattori e tutto il resto
Per $n=5$ ho ottenuto che l'inversa è pari a
\(
\begin{bmatrix}
1/a^5 & & & -5/a^6\\
& 1/a^5& &\\
& & 1/a^5 &\\
& & & 1/a^5
\end{bmatrix}
\)
La struttura dell'inversa adesso la conosco ma continuo a non capire come uno possa arrivarci, se non facendo tanti calcoli per $n$ qualsiasi, quindi determinante, matrice dei cofattori e tutto il resto
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