Operatori, funzioni di matrici

SteezyMenchi
Ho un piccolo dubbio su questo esercizio:
Data \( A=\begin{bmatrix}
a & & & 1\\
& a & & \\
& & a & \\
& & & a

\end{bmatrix}\). ( Ove ho omesso gli zeri al posto degli spazi vuoti per rapidità). Calcolare l'inversa di $C = A^n, n \in [2,3,...]$
Vabbè ho riconosciuto che $A = aId_4 + B$, ove \( B =\begin{bmatrix}
& & & 1\\
& & & \\
& & & \\
& & &
\end{bmatrix}\)
Anche qui stessa notazione breve per gli zeri.
Le potenze di $B^n, n>1$ sono tutte nulle. Alla fine ,dopo un pò di semplici calcoli che ometto, ho ottenuto(stessi di un messaggio precedente, fatti da parte di megas_archon :-D ):
$A^n = a^n(Id_4+nB/a)$
Da qui ho avuto un blocco e non riuscito a trovare l'inversa:
$C^-1 = a^{-n}(Id_4+nB/a)^{-1}$
Ho paura che la soluzione sia più semplice del previsto e che non stia ragionando lucidamente. Resta il fatto che non so come trattare quel termine tra parentesi :roll:
Ringrazio chi vorrà aiutarmi. In caso la soluzione fosse molto semplice, o avessi commesso qualche sacrilegio non esitate a sottolinearlo (siate sempre clementi hahaha)

Risposte
Quinzio
"SteezyMenchi":

Ho paura che la soluzione sia più semplice del previsto.


Si, infatti non devi fare nulla per trovare l'inversa, ce l'hai gia'.

Nel senso che $C^-1 = A^n$ con $n = -1$ quindi $A^-1$

$A^-1 = a^-1(Id_4 + -1 B /a) = a^-1 Id_4 -a^-2 B$

$A^-2 = a^-2(Id_4 + -2 B /a) = a^-2 Id_4 -2a^-3 B$

$A^-3 = a^-3(Id_4 + -3 B /a) = a^-3 Id_4 -3a^-4 B$

ecc..

Inoltre, in modo coerente,

$A^0 = a^0(Id_4 + 0 B /a) = Id_4$

SteezyMenchi
Scusa Quinzio ho dimenticato di aggiungere una condizione sull'esponente $n$, ed esso parte da $2$. Perciò il tuo calcolo non si accorda con tale condizione. Mi scuso con te in primis e con il forum per la svista.
Credo che ci sia qualche modo strano per calcolare l'inversa, però non ne vedo altri al momento

SteezyMenchi
Ho provato a mettere tutto su matrixcalc per vedere quale sia la soluzione, ottenendo quando segue:
Per $n=5$ ho ottenuto che l'inversa è pari a
\(
\begin{bmatrix}
1/a^5 & & & -5/a^6\\
& 1/a^5& &\\
& & 1/a^5 &\\
& & & 1/a^5
\end{bmatrix}
\)
La struttura dell'inversa adesso la conosco ma continuo a non capire come uno possa arrivarci, se non facendo tanti calcoli per $n$ qualsiasi, quindi determinante, matrice dei cofattori e tutto il resto

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