Operatori e rappresentazioni matriciali
Buona sera. Volevo chiedervi come svolgere questo esercizio ( non so proprio risolverlo nè bozzare un minimo procedimento):
Nella base canonica di $C^2$, l'operatore B assume la rappr. matriciale:
$B=( acosx .... isinx)$
$(isinx .... acosx)$ ( è una matrice 2x2)
Si chiede di discutere la classificazione della matrice B al variare dei parametri reali a e x. In particolare, eventuali limitazioni da imporre al parametro a affinchè B sia unitaria, dipeNdente da x. Si chiede inoltre di determinare la rappresentazione matriciale dell'operatore A non nullo, a traccia nulla, che commuta con B e soddisfa la condizione: $A^3=A$.
Il testo è questo.
Le mie difficoltà sono tante, in quanto ancora non sono riuscito a studiare bene ( e da un buon libro) questi argomenti. Io sono fermo alla semplice algebra lineare! Spero possiate darmi un aiuto, sia teorico che pratico.
Vi ringrazio e mi metto a vostra disposizione ( per apprendere!).
Alex
Nella base canonica di $C^2$, l'operatore B assume la rappr. matriciale:
$B=( acosx .... isinx)$
$(isinx .... acosx)$ ( è una matrice 2x2)
Si chiede di discutere la classificazione della matrice B al variare dei parametri reali a e x. In particolare, eventuali limitazioni da imporre al parametro a affinchè B sia unitaria, dipeNdente da x. Si chiede inoltre di determinare la rappresentazione matriciale dell'operatore A non nullo, a traccia nulla, che commuta con B e soddisfa la condizione: $A^3=A$.
Il testo è questo.
Le mie difficoltà sono tante, in quanto ancora non sono riuscito a studiare bene ( e da un buon libro) questi argomenti. Io sono fermo alla semplice algebra lineare! Spero possiate darmi un aiuto, sia teorico che pratico.
Vi ringrazio e mi metto a vostra disposizione ( per apprendere!).
Alex
Risposte
$B=((acos x,isinx),(isin x,a cosx ))$
Matrice unitaria vuol dire tale che $ B*B^(T)=B^(T)*B =I^(n) $ nel caso specifico $I^(2)$, essendo $B^(T)$ la trasposta coniugata di $B$.
Facendo qualche semplice calcolo si ottiene $B*B^(T) = ((sin^2x+a^2cos^2x,0),(0, sin^2x+a^2cos^2x)) $.
Perchè la matrice risultante sia $I^2 $ deve essere $sin^2x+a^2cos^2x=1 $ da cui se questa uguaglianza deve valere indipendentemente da $x $ allora $a^2=1 rarr a =+-1$.
Matrice unitaria vuol dire tale che $ B*B^(T)=B^(T)*B =I^(n) $ nel caso specifico $I^(2)$, essendo $B^(T)$ la trasposta coniugata di $B$.
Facendo qualche semplice calcolo si ottiene $B*B^(T) = ((sin^2x+a^2cos^2x,0),(0, sin^2x+a^2cos^2x)) $.
Perchè la matrice risultante sia $I^2 $ deve essere $sin^2x+a^2cos^2x=1 $ da cui se questa uguaglianza deve valere indipendentemente da $x $ allora $a^2=1 rarr a =+-1$.
Grazie Camillo!!ho riprovato a svolgerlo, facendo anche i passaggi per il calcolo della matrice unitaria. Per la rappresentazione Dell operatore, come dovrei proseguire ? Ti ringrazio per l'aiuto
edit: scrivo il testo completo dell'esercizio:
"Nella base canonica di C^2, l'operatore B assume la rappresentazione matriciale:
B=(....acox......isinx)
....(...isinx.......acosx)
Discutere la classificazione della matrice B al variare dei parametri reali a e x. In particolare, determinare le eventuali limitazioni che occorre imporre al parametro a affinchè B risulti unitaria, dipendente da x. Calcolare dunque, con queste limitazioni, autovalori e autovettori di B e determinare la rappresentazione matriciale dell'operatore A non nullo, a traccia nulla, che commuta con B e soddisfa l'ulteriore condizione: A^3=A"
In ultimo, verificare che con le stesse limitazioni, le matrici B costituiscono un gruppo al variare di x. Vedere con quale ulteriore limitazione, le matrici B costituiscono un gruppo continuo. Classificare tale gruppo continuo e verificare che A è il generatore".
----------------------
La prima parte è stata fatta. Sono state imposte le condizioni per il parametro a affinchè B risultasse unitaria, e fin qui ho capito i passaggi che hai fatto.
Adesso stavo calcolando gli autovalori e gli autovettori. Ho imposto ad a il valore 1, in modo da calcolarne gli autovalori: salvo errori di calcolo ( la mia matrice ancora è dipendente da x!), trovo $\lambda=cosx+-\sqrt(cos^2x-1)$
Adesso però non so come proseguire...
edit: scrivo il testo completo dell'esercizio:
"Nella base canonica di C^2, l'operatore B assume la rappresentazione matriciale:
B=(....acox......isinx)
....(...isinx.......acosx)
Discutere la classificazione della matrice B al variare dei parametri reali a e x. In particolare, determinare le eventuali limitazioni che occorre imporre al parametro a affinchè B risulti unitaria, dipendente da x. Calcolare dunque, con queste limitazioni, autovalori e autovettori di B e determinare la rappresentazione matriciale dell'operatore A non nullo, a traccia nulla, che commuta con B e soddisfa l'ulteriore condizione: A^3=A"
In ultimo, verificare che con le stesse limitazioni, le matrici B costituiscono un gruppo al variare di x. Vedere con quale ulteriore limitazione, le matrici B costituiscono un gruppo continuo. Classificare tale gruppo continuo e verificare che A è il generatore".
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La prima parte è stata fatta. Sono state imposte le condizioni per il parametro a affinchè B risultasse unitaria, e fin qui ho capito i passaggi che hai fatto.
Adesso stavo calcolando gli autovalori e gli autovettori. Ho imposto ad a il valore 1, in modo da calcolarne gli autovalori: salvo errori di calcolo ( la mia matrice ancora è dipendente da x!), trovo $\lambda=cosx+-\sqrt(cos^2x-1)$
Adesso però non so come proseguire...
Io ho svolto la prima parte dell'esercizio nell'ipotesi che B risulti unitaria, indipendente da x ma il testo riporta dipendente (?) da x.
Vedo che poi si prosegue parlando di gruppi e allora lascio ad altri ....
Vedo che poi si prosegue parlando di gruppi e allora lascio ad altri ....
Si, parla di dipendenza e questo mi blocca per la parte successiva. Grazie mille per l'aiuto, Camillo 
Visto che confermi la dipendenza da $x $ allora quel che ho scritto non va bene .
e come si dovrebbe alternativamente procedere? come mai non vale quel procedimento?
Poiché $A$ soddisfa $A^3 = A$, che è una relazione polinomiale, il polinomio minimo di $A$ deve dividere $t^3 - t$, che si fattorizza come $t(t-1)(t+1)$, perciò il polinomio caratteristico può essere composto solo dai fattori $t$, $(t-1)$, $(t+1)$ (il polinomio minimo e il polinomio caratteristico hanno gli stessi fattori irriducibili), ed ha grado 2 perché tale è l'ordine della matrice $A$. Sappiamo anche che $A$ ha traccia 0, quindi la somma dei 2 autovalori di $A$ deve fare 0: ne segue che i polinomi caratteristici ammessi sono $t^2$ e $(t-1)(t+1)$, ma il primo è da scartare in quanto da $A^3 = A$ otterremmo $A = 0$, un caso non ammissibile. Quindi il polinomio caratteristico di $A$ è $t^2-1$, in particolare A è diagonalizzabile.
Poiché $A$ e $B$ commutano e $A$ è diagonalizzabile con 2 autovalori distinti, lo è anche $B$ e hanno gli autovettori in comune (ma gli autovalori a priori non hanno niente in comune!)
$B$ è della forma
$ ( ( c , d ),( d , c ) ) = c( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) + d( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ) $
Ora, se due matrici quadrate (dello stesso ordine) $M$ e $N$ hanno entrambe $X$ come autovettore, $M + N$ ha anch'essa $X$ come autovettore, infatti $(M+N)X = MX + NX = \lambda_1X + \lambda_2X = (\lambda_1 + lambda_2)X$, e l'autovalore risultante è proprio la somma dei due. Poiché per la matrice $I$ ogni vettore è autovettore (ok, non nullo!
) ci basta cercare gli autovalori di $ ( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ) $ e siamo apposto: ma questa non fa altro che scambiare $e1$ con $e2$ e viceversa (cioè è la simmetria rispetto alla bisettrice y=x del piano), quindi è ovvio che ha autovettori $(1, 1)$, associato all'autovalore $1$, e $(1,-1)$, associato all'autovalore $-1$. Quindi gli autovettori di $B$ sono $(1,1)$ e $(1,-1)$, rispettivamente di autovalore $c + d$ e $c - d$, sostituendo, $acos(x) + isin(x)$ e $acos(x) - isin(x)$.
Comunque poiché l'ordine di $B$ è 2 puoi trovarti il polinomio caratteritico e trovarne le radici con la consueta formula risolutiva delle equazioni di secondo grado (il fatto è che se l'ordine fosse superiore a due potrebbe rivelarsi un problema cercare le radici del polinomio caratteristico, ma questo non è il caso: fai come ti piace di più!)
Adesso è facile costruire $A$: $B$ è una dilatazione lungo i vettori $(1,1)$ e $(1,-1)$ e anche $A$ deve essere tale, e deve avere autovalori $1$ e $-1$, quindi abbiamo due scelte:
$A$: $(1,1) rarr (1,1)$ e $(1,-1) rarr (-1,1)$ oppure $(1,1) rarr (-1,-1)$ e $(1,-1) rarr (1,-1)$
...notare che questi due endomorfismi sono opposti. Con conti facili facili si trova che la matrice associata ad $A$ ripetto alla base canonica è:
$ ( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ) $ (o la sua opposta per il secondo endomorfismo)
P.S. non occorre verificare che $A^3 = A$, perché $t^3 - t$ è multiplo del polinomio caratteristico, quindi A soddisfa tale relazione
Poiché $A$ e $B$ commutano e $A$ è diagonalizzabile con 2 autovalori distinti, lo è anche $B$ e hanno gli autovettori in comune (ma gli autovalori a priori non hanno niente in comune!)
$B$ è della forma
$ ( ( c , d ),( d , c ) ) = c( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) + d( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ) $
Ora, se due matrici quadrate (dello stesso ordine) $M$ e $N$ hanno entrambe $X$ come autovettore, $M + N$ ha anch'essa $X$ come autovettore, infatti $(M+N)X = MX + NX = \lambda_1X + \lambda_2X = (\lambda_1 + lambda_2)X$, e l'autovalore risultante è proprio la somma dei due. Poiché per la matrice $I$ ogni vettore è autovettore (ok, non nullo!
) ci basta cercare gli autovalori di $ ( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ) $ e siamo apposto: ma questa non fa altro che scambiare $e1$ con $e2$ e viceversa (cioè è la simmetria rispetto alla bisettrice y=x del piano), quindi è ovvio che ha autovettori $(1, 1)$, associato all'autovalore $1$, e $(1,-1)$, associato all'autovalore $-1$. Quindi gli autovettori di $B$ sono $(1,1)$ e $(1,-1)$, rispettivamente di autovalore $c + d$ e $c - d$, sostituendo, $acos(x) + isin(x)$ e $acos(x) - isin(x)$.Comunque poiché l'ordine di $B$ è 2 puoi trovarti il polinomio caratteritico e trovarne le radici con la consueta formula risolutiva delle equazioni di secondo grado
(il fatto è che se l'ordine fosse superiore a due potrebbe rivelarsi un problema cercare le radici del polinomio caratteristico, ma questo non è il caso: fai come ti piace di più!)Adesso è facile costruire $A$: $B$ è una dilatazione lungo i vettori $(1,1)$ e $(1,-1)$ e anche $A$ deve essere tale, e deve avere autovalori $1$ e $-1$, quindi abbiamo due scelte:
$A$: $(1,1) rarr (1,1)$ e $(1,-1) rarr (-1,1)$ oppure $(1,1) rarr (-1,-1)$ e $(1,-1) rarr (1,-1)$
...notare che questi due endomorfismi sono opposti. Con conti facili facili si trova che la matrice associata ad $A$ ripetto alla base canonica è:
$ ( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ) $ (o la sua opposta per il secondo endomorfismo)
P.S. non occorre verificare che $A^3 = A$, perché $t^3 - t$ è multiplo del polinomio caratteristico, quindi A soddisfa tale relazione
ah...cosa intendi per "discutere la classificazione di B"? Inoltre cosa intendi per gruppo continuo? Il fatto è che l'insieme delle matrici B al variare di x è un arco in $C^(2xx2)$ (ovvio) quindi è un sottoinsieme connesso per archi. Intendi questo?
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