Operatore simmetrico

[perplesso1]

Sia T l'operatore rappresentato dalla matrice $ ((1,2), (2,1)) $ nella base $ B= {(1,1),(1,2)} $ L'endomorfismo T è simmetrico rispetto al prodotto scalare standard di $ R^2 $ ??


Allora... $ T(1,1)=(1,1)+2(1,2)=(3,5) $ mentre $ T(1,2)=2(1,1)+(1,2)=(3,4) $ quindi $ T(1,1)(1,2)=(3,5)(1,2)=13 $ invece $ (1,1)T(1,2)=(1,1)(3,4)=7 \ne 13 $ quindi io rispondo NO non è simmetrico. Ma il mio libro invece dice SI. Dove sto sbagliando?

Grazie mille!

[perplesso1]

Ciao grazie per la tua osservazione,

(1,1) è un vettore di $ R^2 $

"Sergio": $ T(1,1)=A(1,0)=(1,2) $

Mi sembra sbagliato perchè quel (1,2) che ottieni sono le componenti di T(1,1) rispetto alla base B quindi $ T(1,1)= 1(1,1)+2(1,2)=(3,5) $ così come avevo gia fatto io.

[perplesso1]

Grazie mille, anche io avevo il sospetto che sbagliasse il libro, ma sai com'è col tempo ho imparato che prima di dire "il libro ha sbagliato" è sempre meglio chiedere un parere

[anto_zoolander]

Vado giù di necropost per levare un dubbio veloce:

Ma in generale se $A$ è simmetrica e $•$ è il prodotto scalare standard, allora l'operatore $T$ rappresentato da $A$ non è simmetrico rispetto a $•$?

[Shocker1]

"anto_zoolander":Vado giù di necropost per levare un dubbio veloce:

Ma in generale se $A$ è simmetrica e $•$ è il prodotto scalare standard, allora l'operatore $T$ rappresentato da $A$ non è simmetrico rispetto a $•$?

Se la base in cui rappresenti $T$ come matrice $A$ è ortonormale per il prodotto scalare standard allora $T$ è simmetrico(o autoaggiunto).

[anto_zoolander]

Ma perché richiedi l'ortonormalità della base che usi?
Se il prodotto scalare è standard un qualunque operatore è simmetrico

[Shocker1]

"anto_zoolander":Ma perché richiedi l'ortonormalità della base che usi?
Se il prodotto scalare è standard un qualunque operatore è simmetrico

No, siano $V = \mathbb{R^2}$ e $f: \mathbb{R^2} \to \mathbb{R^2}$ che manda $(x, y)$ in $(y-x, y)$, sia $B = { e_1 + e_2, e_2}$ una base di $\mathbb{R^2}$, $B$ non è ortonormale per il prodotto scalare standard, $M_B(f) = ( (0, 1), (1, 0))$ è anche simmetrica eppure $f$ non è autoaggiunto rispetto al prodotto scalare standard!

Nel tuo post precedente hai scritto

"anto_zoolander":Vado giù di necropost per levare un dubbio veloce:

Ma in generale se $ A $ è simmetrica e $ • $ è il prodotto scalare standard, allora l'operatore $ T $ rappresentato da $ A $ non è simmetrico rispetto a $ • $?

Il punto è che puoi associare operatori a matrici(in spazi di dimensione finita, per quelli di dimensione infinita non so!) solo dopo aver fissato una base. Per cui non ha senso dire "l'operatore $T$ è rappresentato da $A$" se non si specifica rispetto a quale base! In generale se $A$ è simmetrica e prendi una qualsiasi base ortonormale per il prodotto scalare preso in considerazione(sia esso standard o brutto, seppur definito positivo, a piacere) allora stai certo che l'endomorfismo rappresentato da $A$ è simmetrico(o autoaggiunto).

A questa conclusione si arriva facilmente: siano $V$ un $\mathbb{K}-$spazio, $B$ una base di $V$, $\phi$ un prodotto scalare non degenere su $V$, $f \in End(V)$ e $f^{**}$ il suo aggiunto e dette $M = M_B(\phi)$, $A = M_B(f)$ e $A^{**} = M_B(f^{**})$ allora se $f^{**}$ è aggiunto di $f$ si ha che: $\phi(f(v), w) = \phi(v, f^{**}(w))$ per ogni $v, w \in V$, il che matricialmente vuol dire $A^{**} = M^-1 A^t M$.
Se $f$ è autoaggiunto allora $f = f^{**}$ e quindi deve essere $A = M^-1A^tM$, se $\phi$ è definito positivo allora esiste una base ortonormale, quindi se $B$ la scegli ortonormale la relazione diventa $A^{**} = A^t$, quindi $f$ è autoaggiunto rispetto a un prodotto scalare definito positivo se e solo se fissata una base ortonormale $B$ si ha che $A = M_B(f)$ è simmetrica.

Ciao!

[anto_zoolander]

Ho capito; mi vado a fare la parte sugli aggiunti

Grazie!