Operatore misterioso

alberto_lega
Ciao,
cercando in internet il teorema di Huygens-Steiner applicato alle matrici di inerzia, ho trovato la seguente espressione:
$ I_O=I_G+m^2{:d:}_(G)^(2)(I_((3x3))-vec(e)_G@vec(e)_G) $

dove
$ I_O $ è la matrice di inerzia riferita al punto O
$ I_G $ è la matrice di inerzia riferita al baricentro (G)
$ m $ è la massa del corpo
$ {:d:}_(G)=|vec(G-O)| $
$ vec(e)_(G)=vec(G-O) / |vec(G-O)| $ (versore di $ |vec(G-O)| $ )
$ I_((3x3)) $ è la matrice identità 3x3

Il mio problema è che non ho capito quale sia l'operatore applicato ai due versori. All'inizio ho pensato ad un prodotto vettoriale, ma sarebbe identicamente nullo in quanto i vettori su cui opera sono identici.
Ragionando un poco, ho capito che il risultato dell'operazione deve essere una matrice 3x3, dato che si somma a $ I_((3x3)) $.

Provando a fare i calcoli dei coefficienti della matrice di inerzia di un parallelepipedo, sia rispetto agli principali baricentrici sia rispetto ad assi paralleli con vertice in uno spigolo, credo che il risultato dell'operazione debba essere:

$ vec(e)_G@vec(e)_G=( ( x^2 , xy , xz ),( xy , y^2 , yz ),( xz , yz , z^2 ) ) $

dove:
$ vec(e)_G=( ( x ),( y ),( z ) ) $

Quello che non sono ancora riuscito a scoprire e che vorrei sapere é il nome di questo operatore e dove posso trovare documentazione in merito.

Grazie mille.

Risposte
dissonance
Si chiama "Prodotto tensoriale". In uno spazio vettoriale euclideo, il prodotto tensoriale di due vettori \(v, w\) è l'operatore lineare

\[(v \otimes w)x=(w \cdot x)v, \qquad \forall x.\]

alberto_lega
Grazie mille.
Ora mi sento più sereno a continuare con gli integrali per i coefficienti della matrice! :)

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.