Operatore hermitiano
Salve, avrei bisogno di una mano 
Ecco il testo dell'esercizio: Dato l'operatore A tale che
$[A, A^+] = 1$
verificare che si può scrivere A = X +i Y con X e Y hermitiani.
Allora io so che dal commutatore risulta : $A A^+ - A^+A = 1 $
e che se X e Y sono hermitiani vale :
$X= X^+$ e $Y=Y^+$
come procedo per verificare?
Grazie a tutti
Ecco il testo dell'esercizio: Dato l'operatore A tale che
$[A, A^+] = 1$
verificare che si può scrivere A = X +i Y con X e Y hermitiani.
Allora io so che dal commutatore risulta : $A A^+ - A^+A = 1 $
e che se X e Y sono hermitiani vale :
$X= X^+$ e $Y=Y^+$
come procedo per verificare?
Grazie a tutti
Risposte
Premetto che non ricordo bene come lavorare sui tuoi operatori e la mia camera è così disordinata che ritrovare i miei vecchi appunti sarebbe un'impresa troppo ardua...
Io un'idea ce l'ho, ma per evitare di dire scemenze, ti chiedo prima di rispondere alle mie domande.
Visto che deve essere $A=X+iY$, cosa deve essere $A^+$?
E' vero che deve essere $A^+=X^+ -iY^+=X-iY$ ?
Se così fosse, ti puoi ricavare $X$ e $Y$ sfruttando il fatto che $A=X+iY$ e $A^+=X-iY$
(in un modo simile a quello che si usa per scrivere una matrice quadrata come somma di una simmetrica ed una antisimmetrica).
Possibile che la risoluzione sia così semplice? E poi dove si sfrutta l'ipotesi che $[A,A^+]=1$?
Io un'idea ce l'ho, ma per evitare di dire scemenze, ti chiedo prima di rispondere alle mie domande.
Visto che deve essere $A=X+iY$, cosa deve essere $A^+$?
E' vero che deve essere $A^+=X^+ -iY^+=X-iY$ ?
Se così fosse, ti puoi ricavare $X$ e $Y$ sfruttando il fatto che $A=X+iY$ e $A^+=X-iY$
(in un modo simile a quello che si usa per scrivere una matrice quadrata come somma di una simmetrica ed una antisimmetrica).
Possibile che la risoluzione sia così semplice? E poi dove si sfrutta l'ipotesi che $[A,A^+]=1$?
ti rispondo subito, anche perchè ho risolto l'inghippo con il mio professore... e a mio parere non era neppure così tanto immediato.
Allora, è giustissimo quello che hai detto sull'operatore $A^+ = X - i Y$ in quanto per ipotesi sia X che Y sono hermitiani, quindi l'aggiunto di A si scrive proprio in quel modo.
E per quanto riguarda il commutatore, sostituisco "brutalmente" ovvero $[ A, A^+] = [ X + i Y, X-i Y]$ poi per linearità dello stesso posso riscriverlo come: $[ X, x-iY ] + [ iY, X - iY ]$ e sempre sfruttando la linearità scrivo dopo qualche passaggio $[ X, Y] = i /2$
anche se io sinceramente un dubbio lo ho ancora: a cosa mi serve questo risultato?
Allora, è giustissimo quello che hai detto sull'operatore $A^+ = X - i Y$ in quanto per ipotesi sia X che Y sono hermitiani, quindi l'aggiunto di A si scrive proprio in quel modo.
E per quanto riguarda il commutatore, sostituisco "brutalmente" ovvero $[ A, A^+] = [ X + i Y, X-i Y]$ poi per linearità dello stesso posso riscriverlo come: $[ X, x-iY ] + [ iY, X - iY ]$ e sempre sfruttando la linearità scrivo dopo qualche passaggio $[ X, Y] = i /2$
anche se io sinceramente un dubbio lo ho ancora: a cosa mi serve questo risultato?
"pulsar":
scrivo dopo qualche passaggio $[ X, Y] = i /2$
interessa anche a me questo esercizio,
quella dovrebbe essere la condizione da imporre ad X e Y in modo da poter scrivere l'operatore appunto come X +iY,
qualcuno conferma ?
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