Operatore e molteplicità
ho due domande su cose tratte da un libro che non riesco a capire:
1)dire che $lambda$ è autovalore di un operatore(credo che si chiami anche endomorfismo)significa che esiste $0 != v in V$ tale che $T(v)=lambdav$.
poi si fanno questi giochetti.
$T(v)-lambdav=0$
$T(v)-lambdaid_v(v)=0$
$(T-lambdaid_v)(v)=0$
quindi $lambda$ è un autovalore se e solo se l'operatore $T-lambdaid_v$ non iniettivo. perchè questo?e soprattutto,perchè dire che $T-lambdaid_v$ non è iniettivo equiavale a dire che $rg(T-lambdaid_v)
3)la molteplicità algebrica è un numero $p>=1$ che rende un polinomio $F(t)$ divisibile per $(t-a)^p$, ma non per $(t-a)^(p+1)$, cioè $F(t)=(t-a)^pG(t)$, con $G(a)!=0$ dove a è una radice del poliniomio F(t) e G(t) è un altro polinomio. ecco perchè questo condizione $G(a)!=0$ mi permette di dire che il polinomio è divisibile solo per p, ma non per $p+1$?
1)dire che $lambda$ è autovalore di un operatore(credo che si chiami anche endomorfismo)significa che esiste $0 != v in V$ tale che $T(v)=lambdav$.
poi si fanno questi giochetti.
$T(v)-lambdav=0$
$T(v)-lambdaid_v(v)=0$
$(T-lambdaid_v)(v)=0$
quindi $lambda$ è un autovalore se e solo se l'operatore $T-lambdaid_v$ non iniettivo. perchè questo?e soprattutto,perchè dire che $T-lambdaid_v$ non è iniettivo equiavale a dire che $rg(T-lambdaid_v)
3)la molteplicità algebrica è un numero $p>=1$ che rende un polinomio $F(t)$ divisibile per $(t-a)^p$, ma non per $(t-a)^(p+1)$, cioè $F(t)=(t-a)^pG(t)$, con $G(a)!=0$ dove a è una radice del poliniomio F(t) e G(t) è un altro polinomio. ecco perchè questo condizione $G(a)!=0$ mi permette di dire che il polinomio è divisibile solo per p, ma non per $p+1$?
Risposte
Circa1) Si dice più precisamente operatore lineare od endomorfismo lineare.
1) Se l'operatore lineare [tex]$T-\lambda id_V$[/tex] fosse iniettivo sarebbe [tex]$(T-\lambda id_V)v=\underline0\iff v=0$[/tex] e quindi... Il resto della domanda mi astengo per sicurezza!
2) Basta ricordarti la definizione di nucleo di un operatore lineare.
3) Sarebbe [tex]$G(a)=0\iff(t-a)/G(t)\Rightarrow(t-a)^{p+1}/F(t)$[/tex] per il teorema di Ruffini, ove con [tex]$a/b$[/tex] indico che l'elemento [tex]$a$[/tex] divide l'elemento [tex]$b$[/tex] nell'anello ambiente.
Ma conosci gli anelli come strutture algebriche?
1) Se l'operatore lineare [tex]$T-\lambda id_V$[/tex] fosse iniettivo sarebbe [tex]$(T-\lambda id_V)v=\underline0\iff v=0$[/tex] e quindi... Il resto della domanda mi astengo per sicurezza!
2) Basta ricordarti la definizione di nucleo di un operatore lineare.
3) Sarebbe [tex]$G(a)=0\iff(t-a)/G(t)\Rightarrow(t-a)^{p+1}/F(t)$[/tex] per il teorema di Ruffini, ove con [tex]$a/b$[/tex] indico che l'elemento [tex]$a$[/tex] divide l'elemento [tex]$b$[/tex] nell'anello ambiente.
Ma conosci gli anelli come strutture algebriche?
grazie mille, 
allora...
1)e quindi questo non è possibile perchè $v$ è un autovettore, giusto? quandi dici, se fossi iniettivo allora, intendi che, siccome l'operatore è lineare, per l'iniettività ci basta dire che il $Ker$ di quell'operatore contiene il solo vettore nullo, vero? per il resto ti astieni perchè non è chiara la domanda?
2)$Ker(T-lambdaid_v)={v in V$tali che$(T-lambdaid_v)(v)=0}$qui è per lo stesso motivo di sopra, lo zero non può essere contemplato perchè v è un autovettore, giusto?
3)no, non conosco gli anelli come strutture algebriche..
allora...1)e quindi questo non è possibile perchè $v$ è un autovettore, giusto? quandi dici, se fossi iniettivo allora, intendi che, siccome l'operatore è lineare, per l'iniettività ci basta dire che il $Ker$ di quell'operatore contiene il solo vettore nullo, vero? per il resto ti astieni perchè non è chiara la domanda?
2)$Ker(T-lambdaid_v)={v in V$tali che$(T-lambdaid_v)(v)=0}$qui è per lo stesso motivo di sopra, lo zero non può essere contemplato perchè v è un autovettore, giusto?
3)no, non conosco gli anelli come strutture algebriche..
1) Diciamo per bene: l'essere [tex]$T-\lambda id_V$[/tex] iniettivo equivale a [tex]$\mathrm{Ker}(T-\lambda id_V)=\{\underline0\}$[/tex]da cui l'essere [tex]$v=\underline0$[/tex] in contrasto col suo essere autovettore. La seconda parte meglio spiegarti meglio!
2) Sarebbe [tex]$v\in\mathrm{Ker}(T-\lambda id_V)\stackrel{d e f}{\iff}(T-\lambda id_V)v=\underline0$[/tex], attenzione: qui non supponi l'iniettività. -_-
3) Non ti servono gli anelli, era solo per spiegare la notazione; spero che non ti abbia confuso.
Prego, di nulla.
2) Sarebbe [tex]$v\in\mathrm{Ker}(T-\lambda id_V)\stackrel{d e f}{\iff}(T-\lambda id_V)v=\underline0$[/tex], attenzione: qui non supponi l'iniettività. -_-
3) Non ti servono gli anelli, era solo per spiegare la notazione; spero che non ti abbia confuso.
Prego, di nulla.
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