Operatore diagonalizzabile

[zio_mangrovia]

condizione necessaria e sufficiente perché un operatore $A:X->X$ sia diagonalizzabile è che esista una base di $X$ costituita da autovettori di $A$

dimostrazione:
Se A è diagonalizzabile esisterà un cambio di base, di matrice $M$ tale che $M^(-1)AM$ è diagonale, e da ciò segue che applicandole alla base canonica $e_1,... , e_n$ risulta:
$(M^(-1)AM)e_i=\lambda_ie_i$

Potete per cortesia spiegarmi in modo semplice questi passi:

[*:hzcqj9wf]Perchè si dice se A è diagonalizzabile esisterà un matrice cambio di base?
nel teorema successivo scritto in neretto si parla di esistenza di $M$ tale che soddisfi $A'=M^(-1)AM$ ma non vedo accenni a diagonalizzazione.[/*:m:hzcqj9wf]
[*:hzcqj9wf] in base al seguente teorema deduco che esista una matrice $M$ di cambio di base che soddisfa la relazione $A'$=$M^(-1)AM$ ma non capisco perché si dica tale che ... è diagonale.
teorema:
$A:X->X$,
siano $e_1,... , e_n$ e $e'_1,... , e'_n$ due basi di $X$,
$M$ è la matrice di cambio di base
$A$, $A'$ le matrici associate ad $A$ e rispettivamente alla base $e_1,... , e_n$ (sia alla "partenza" che "all'arrivo") e alla base $e'_1,... , e'_n$, allora: $A'$=$M^(-1)AM$[/*:m:hzcqj9wf]
[*:hzcqj9wf]Non capiscono cosa significhi e da ciò segue che applicandole alla base canonica e1...en, vedo solo una moltiplicazione di entrambi i membri dell'equazione per il vettore $e_i$ e sinceramente mi sfugge il termine applicandole[/*:m:hzcqj9wf][/list:u:hzcqj9wf]

[Pazzuzu]

Se ho capito bene, ti stai perdendo in un bicchier d'acqua ( o di vino )
In merito ai primi due punti, credo che per risolvere il tuo dubbio ti basti sapere che

"zio_mangrovia":
Se A è diagonalizzabile esisterà un cambio di base, di matrice $M$ tale che $M^(-1)AM$ è diagonale

è la definizione stessa di diagonalizzabilità, cosa non ti convince ?
Per il terzo dubbio, nel passaggio

"zio_mangrovia":
$ (M^(-1)AM)e_i=\lambda_ie_i $

non viene fatto altro che scrivere le coordinate dell'operatore lineare $A$ rispetto ad una base di autovettori. Potrei sbagliarmi eh, prova a dimostrarlo per sicurezza ( vabbè ma si vede pure ad occhio ).

[zio_mangrovia]

"zio_mangrovia":
Se A è diagonalizzabile esisterà un cambio di base, di matrice $M$ tale che $M^(-1)AM$ è diagonale

"Pazzuzu":è la definizione stessa di diagonalizzabilità, cosa non ti convince ?

Io la interpreto così, correggetemi se sbaglio: il prodotto di matrici $M^(-1)AM$ può dare come risultato molte matrici ma noi si sta affermando che esisterà una certa $M$ dove il prodotto prima indicato produrrà la matrice diagonale, corretto?
Qual è il teorema/principio che mi permette di affermare l'esistenza di $M$ tale che $A'=M^(-1)AM$ produce una matrice diagonale, potrebbe anche non essere vero e produrre tutte matrici che però non sono diagonali.

[Pazzuzu]

La frase della dimostrazione del tuo libro dice : " Se $A$ è diagonalizzabile, allora..".

[zio_mangrovia]

"Pazzuzu":La frase della dimostrazione del tuo libro dice : " Se $A$ è diagonalizzabile, allora..".

qua si afferma che esisterà una matrice $M$ cambio di base, tale che $M^(−1)AM$ è diagonale non parlo di $A$. Da dove salta fuori che questo $M^(−1)AM$ che deve essere diagonale? Non si parla di $A$

[Magma1]

Una matrice $B in RR^(n,n)$ si dice diagonalizzabile se è simile a una matrice diagonale $A$,
ossia se esiste una matrice invertibile $Min RR^(n,n)$ per cui $M^(-1)BM=A$ è diagonale.

Quindi se tu trovassi[nota]Ovviamente non sai a priori se sia diagonalizzabile o meno; a meno che non si tratti di una matrice rappresentativa di un endomorfismo autoaggiunto![/nota] una matrice $M$ invertibile tale che $M^(-1)BM=A$, allora potresti dire che la tua matrice $B$ è diagonalizzabile.
Fino a qui si è trattato di usare due definizioni: quella di diagonalizzabilità che richiama la definizione di similitudine.


Ovviamente tale matrice $M$ non è una matrice qualsiasi; infatti

$f: V->V$ endomorfismo.
Si dice che $f$ è diagonalizzabile se $V$ ha almeno una base costituita da autovettori relativi ad $f$[nota]Cioè
$f$ è diagonalizzabile
$hArr$ $EE mathcal(A)={v_1, ..., v_n}$ base di autovettori di $V$ rispetto a $f$
$hArr AAi EE lambda_i in RR$ t.c. $f(v_i)=lambda_iv_i$[/nota]

Quindi si può dire che la diagonalizzazione è il cambiamento di coordinate da una generica base $mathcal (B)$ a una base $mathcal (A) $ di autovettori:

$M_(AB)M_(BB)M_(BA)=$

$=(M_(BA))^(-1)M_(BB)M_(BA)=M_(A A)$[nota]Dove $M_(BA)$ è la matrice avente per oclonna le componenti dei vettori della base $mathcal (B)$ rispetto alla $mathcal(A)$.[/nota]

e $M_(A A)=A$ è una matrice diagonale che ha sulla diagonale proprio gli autovalori $lambda_i$ di $f$.

[zio_mangrovia]

Dagli appunti emerge una definizione diversa parlando di diagonalizzabilità di un operatore e non vorrei approcciare con altre definizioni che senz'altro saranno più corrette ma rischiano di farmi più confusione. Se non parto da questi principi che ho scrive il prof non riesco ad agganciare il concetto, purtroppo non posso partecipare alle lezioni e sono un autodidatta.

Un operatore $A:X->X$, $dim(X)=n$ verrà detto diagonale rispetto alla base $e_1,...,e_n$ se la matrice associata ad esso è diagonale : $A(e_i)=\lambdae_1$

quindi questa affermazione
"se $A$ è diagonalizzabile esisterà un cambio di matrici $M$ tali che $M^(-1)AM$ sia diagonalizzabile"
la capisco che noi si IMPONE la condizione di diagonalizzabilità, corretto? Cioè si cerca una $M$ tale che il prodotto $M^(-1)AM$ mi "produca" una matrice diagonale. Corretto?
Se poi moltiplico $M^(-1)AM$ (che è una matrice con tutti zero escluso la diagonale) per il vettore $e_i$, cioè passo alla fase che il prof indica come "applicandole alla base canonica", ottengo sempre la colonna i-esima di $M^(-1)AM$, corretto?
Il che equivale ad esprime la stessa matrice come $\lambda_ie_i$ dove $lambda$ rappresenta gli autovalori presenti sulla diagonale.

Grazie a tutti

[zio_mangrovia]

Ho capito rileggendo e rileggendo adesso tutto è chiaro!
thanks