Operatore di proiezione ortogonale ( e dintorni)
Salve a tutti, non voglio farvi perdere tempo prezioso ma devo risolvere un problema. Non ho molto tempo quindi una risposta esauriente e chiara, che mi permetta in poco tempo di arrivare alla soluzione (e comprensione) del dilemma è molto gradita, ma so già che sarà così dato l'ottimo livello del forum!!
Io ho un bel po' di passaggi ma dato che arrivo alla fine e ho dei problemi non li metto, vi darò direttamente la traccia del problema:
- Ho $V$ spazio vettoriale delle matrici 2 $\times$ 2 a traccia nulla, sia $B$ la matrice:
$ ( ( 1 , 0 ),( 0 , 2 ) ) $
Si considerino pure $G$: $V$ $\rightarrow$ $\mathbb{R}$ e $Q$: $\rightarrow$ $\mathbb{R}$
$G$(A) = $tr$($^t$$ABA$) (per chiarezza: si legga traccia(trasposta di A per B per A) dove A è una generica matrice di $V$
$Q$(A) = $2det(A)$ - $2$$(tr(AB))^2$.
Io prendo A = $ ((a , b),(c , -a)) $
$i$)Trovare base di $V$ ...e l'ho trovata
$ii$)mostra che $G$ e $Q$ sono forme quadratiche e (... qui mi interesserebbe sapere come fare: ) scrivere le matrici che rappresentano $G$ e $Q$ rispetto alla base di $V$ (a me sembra di aver copiato bene il testo è possibile il contrario...?). Comunque io metto una matrice che ho trovato per tutte e ditemi se è ok:
$G$ = $ ((3 , 0 , 0),(0 , 2 , 0),( 0 , 0 , 1)) $
se è ok allora ho capito che devo fare ma non ho capito perchè(dice rispetto a base di V).
$iii$) considerare l'insieme $U$ delle matrici $A$ di $V$ t.c. tr(AB) = 0 e determinane una base: (e ho fatto pure questo: )
$ (( 0 , 0),( 1 , 0)) $ ,
$ (( 0 , 1),( 0 , 0)) $
$iv$) trova $G|_U$ e $Q|_U$ (credo di averlo fatto ...bene). ad es:
$G|_U$ = $ ((1 , 0),(0 , 2)) $ e per $Q|_U$ = $ (( 0 , 1 ),(1 , 0)) $
(ok??)
ORA ARRIVA IL VERO PROBLEMA:
$v$) diagonalizza simultaneamente $G|_U$ e $Q|_U$ e scrivi l'operatore $\pi$$_U$: $V$ $rightarrow$ $V$ di proiezione ortogonale su $U$ (rispetto al prodotto scalare associato a $G$... di cosa si tratta?).
Spero sia interessante e grazie mille anticipatamente.
Io ho un bel po' di passaggi ma dato che arrivo alla fine e ho dei problemi non li metto, vi darò direttamente la traccia del problema:
- Ho $V$ spazio vettoriale delle matrici 2 $\times$ 2 a traccia nulla, sia $B$ la matrice:
$ ( ( 1 , 0 ),( 0 , 2 ) ) $
Si considerino pure $G$: $V$ $\rightarrow$ $\mathbb{R}$ e $Q$: $\rightarrow$ $\mathbb{R}$
$G$(A) = $tr$($^t$$ABA$) (per chiarezza: si legga traccia(trasposta di A per B per A) dove A è una generica matrice di $V$
$Q$(A) = $2det(A)$ - $2$$(tr(AB))^2$.
Io prendo A = $ ((a , b),(c , -a)) $
$i$)Trovare base di $V$ ...e l'ho trovata
$ii$)mostra che $G$ e $Q$ sono forme quadratiche e (... qui mi interesserebbe sapere come fare: ) scrivere le matrici che rappresentano $G$ e $Q$ rispetto alla base di $V$ (a me sembra di aver copiato bene il testo è possibile il contrario...?). Comunque io metto una matrice che ho trovato per tutte e ditemi se è ok:
$G$ = $ ((3 , 0 , 0),(0 , 2 , 0),( 0 , 0 , 1)) $
se è ok allora ho capito che devo fare ma non ho capito perchè(dice rispetto a base di V).
$iii$) considerare l'insieme $U$ delle matrici $A$ di $V$ t.c. tr(AB) = 0 e determinane una base: (e ho fatto pure questo: )
$ (( 0 , 0),( 1 , 0)) $ ,
$ (( 0 , 1),( 0 , 0)) $
$iv$) trova $G|_U$ e $Q|_U$ (credo di averlo fatto ...bene). ad es:
$G|_U$ = $ ((1 , 0),(0 , 2)) $ e per $Q|_U$ = $ (( 0 , 1 ),(1 , 0)) $
(ok??)
ORA ARRIVA IL VERO PROBLEMA:
$v$) diagonalizza simultaneamente $G|_U$ e $Q|_U$ e scrivi l'operatore $\pi$$_U$: $V$ $rightarrow$ $V$ di proiezione ortogonale su $U$ (rispetto al prodotto scalare associato a $G$... di cosa si tratta?).
Spero sia interessante e grazie mille anticipatamente.
Risposte
hheellpp!
Non ho letto tutto, ma mi sa che c'è qualche problema con la matrice associata a $G$.
Innanzitutto chiariamo una cosa:
la base di $V$ che hai trovato è quella formata dalle tre matrici seguenti?
$A_1=((1,0),(0,-1))$, $A_2=((0,1),(0,0))$ e $A_3=((0,0),(1,0))$
Credo di sì.
Detto questo, per provare che $G$ è una forma quadratica io ho pensato di fare così: proviamo che esiste una forma bilineare simmetrica che induce la forma $G$.
In particolare si usa la formula di polarizzazione. Si pone [tex]\varphi:V\times V\to\mathbb{R}[/tex] tale che
[tex]\varphi(A,C)=\frac{1}{2}(G(A+C)-G(A)-G(C)),\ \ A,C\in V[/tex].
Ora dovresti provare che [tex]\varphi[/tex] è bilineare simmetrica e induce la forma [tex]G[/tex].
A questo punto la matrice associata alla forma quadratica $G$ (o alla corrispondente forma bilineare [tex]\varphi[/tex]) è data da
[tex]\left(\begin{matrix}\varphi(A_1,A_1) & \varphi(A_1,A_2) & \varphi(A_1,A_3) \\ \varphi(A_2,A_1) & \varphi(A_2,A_2) & \varphi(A_2,A_3) \\ \varphi(A_3,A_1) & \varphi(A_3,A_2) & \varphi(A_3,A_3) \end{matrix}\right)[/tex]
Sistemiamo questo, poi, quando ho tempo, vado avanti.
P.S. Attenzione agli up: non prima di 24 ore!
Innanzitutto chiariamo una cosa:
la base di $V$ che hai trovato è quella formata dalle tre matrici seguenti?
$A_1=((1,0),(0,-1))$, $A_2=((0,1),(0,0))$ e $A_3=((0,0),(1,0))$
Credo di sì.
Detto questo, per provare che $G$ è una forma quadratica io ho pensato di fare così: proviamo che esiste una forma bilineare simmetrica che induce la forma $G$.
In particolare si usa la formula di polarizzazione. Si pone [tex]\varphi:V\times V\to\mathbb{R}[/tex] tale che
[tex]\varphi(A,C)=\frac{1}{2}(G(A+C)-G(A)-G(C)),\ \ A,C\in V[/tex].
Ora dovresti provare che [tex]\varphi[/tex] è bilineare simmetrica e induce la forma [tex]G[/tex].
A questo punto la matrice associata alla forma quadratica $G$ (o alla corrispondente forma bilineare [tex]\varphi[/tex]) è data da
[tex]\left(\begin{matrix}\varphi(A_1,A_1) & \varphi(A_1,A_2) & \varphi(A_1,A_3) \\ \varphi(A_2,A_1) & \varphi(A_2,A_2) & \varphi(A_2,A_3) \\ \varphi(A_3,A_1) & \varphi(A_3,A_2) & \varphi(A_3,A_3) \end{matrix}\right)[/tex]
Sistemiamo questo, poi, quando ho tempo, vado avanti.
P.S. Attenzione agli up: non prima di 24 ore!
Si, per la base di $V$, è quella. L'input sulla formula di pol. mi sembra buono...ora verifico ... GRAZIE... attendo con ansia il resto.
Ok funziona!! grazie!
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