Operatore di proiezione ortogonale
Salve a tutti. Mi servirebbe un piccolo check su un conto da me fatto riguardo un'osservazione fatta dal mio professore.
Lui ha affermato che se ho una base ortonormale su uno spazio $V$ di dimensione $n$, allora posto $P_k := P_{e_k} = \frac{\langle e_k, \* \rangle}{||e_k||^2}e_k = \langle e_k, \* \rangle e_k $ si ha che $P_k ^n = P_k$
L'osservazione è morta lì purtroppo e stavo cercando di capire come ci si arrivasse.
Ho capito che ci sono due vie, una più semplice (l'ho scoperta da una dispensa di qualche facoltà di matematica e penso di averla capita. Riporto il link nel caso qualcuno la volesse vedere https://mate.unipv.it/cornalba/dispense/alglin/proi.pdf), l'altra più da macchina, che vorrei provare a fare comunque:
Da quanto ho capito devo semplicemente dimostrare che tale operatore è idempotente, ovvero, limitandomi al caso più semplice, prendendo un vettore $v$ in $V$:
$P_k^2(v) = P_k(P_k(v)) = P_k(v) = P_k( \frac{\langle e_k, v \rangle}{||e_k||^2}e_k) = \langle \frac{e_k}{||e_k||^2}, [ \frac{\langle e_k, v \rangle}{||e_k||^2}e_k]\rangle e_k$
Tutte le norme sono unitarie e se ne vanno:
$\langle e_k, [\langle e_k, v \rangle e_k]\rangle e_k = [\langle e_k, e_k \rangle \langle e_k,v\rangle]e_k = \langle e_k,v \rangle ||e_k||^2 e_k = \langle e_k,v \rangle e_k = P_k(v) $
$Q.E.D.$
Adesso dovrei estendere questo ad una potenza di indice $n$, però mi basterebbe esprimere (supponendo $n$ pari ) $P_k^n = (P_k^2)\cdot(P_k^2)...$ e così andare avanti finché non ritorno al caso con indice $2$.
Che ne pensate? Ogni aiuto è ben accetto.
Ringrazio in anticipo chi risponderà
Lui ha affermato che se ho una base ortonormale su uno spazio $V$ di dimensione $n$, allora posto $P_k := P_{e_k} = \frac{\langle e_k, \* \rangle}{||e_k||^2}e_k = \langle e_k, \* \rangle e_k $ si ha che $P_k ^n = P_k$
L'osservazione è morta lì purtroppo e stavo cercando di capire come ci si arrivasse.
Ho capito che ci sono due vie, una più semplice (l'ho scoperta da una dispensa di qualche facoltà di matematica e penso di averla capita. Riporto il link nel caso qualcuno la volesse vedere https://mate.unipv.it/cornalba/dispense/alglin/proi.pdf), l'altra più da macchina, che vorrei provare a fare comunque:
Da quanto ho capito devo semplicemente dimostrare che tale operatore è idempotente, ovvero, limitandomi al caso più semplice, prendendo un vettore $v$ in $V$:
$P_k^2(v) = P_k(P_k(v)) = P_k(v) = P_k( \frac{\langle e_k, v \rangle}{||e_k||^2}e_k) = \langle \frac{e_k}{||e_k||^2}, [ \frac{\langle e_k, v \rangle}{||e_k||^2}e_k]\rangle e_k$
Tutte le norme sono unitarie e se ne vanno:
$\langle e_k, [\langle e_k, v \rangle e_k]\rangle e_k = [\langle e_k, e_k \rangle \langle e_k,v\rangle]e_k = \langle e_k,v \rangle ||e_k||^2 e_k = \langle e_k,v \rangle e_k = P_k(v) $
$Q.E.D.$
Adesso dovrei estendere questo ad una potenza di indice $n$, però mi basterebbe esprimere (supponendo $n$ pari ) $P_k^n = (P_k^2)\cdot(P_k^2)...$ e così andare avanti finché non ritorno al caso con indice $2$.
Che ne pensate? Ogni aiuto è ben accetto.
Ringrazio in anticipo chi risponderà
Risposte
Puoi dismostrare la tua ultima proposizione per induzione su \(n\). La tua proposizione è dimostrata per \(n=1\) e \(n=2\) in base ai tuoi calcoli manuali. Ora se supponi che valga per tutti gli \(n
Grazie mille apatriarca. è più meno l'idea che avevo in mente hahaha. Non so perché ma quando c'è da dimostrare qualcosa e la strategia più evidente è chiaramente per induzione il mio cervello si rifiuta di vederlo purtroppo.
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