Operatore di interno
Ciao, amici! Se $X$ è un insieme non vuoto e \(I:\mathcal{P}(X)\to\mathcal{P}(X)\) è un operatore che per definizione soddisfi\[I(X)=X\]\[\forall S\in\mathcal{P}(X),\text{ }S\supset I(S)\]\[\forall S\in\mathcal{P}(X),\text{ }I(I(S))=I(S)\]\[\forall A,B\in\mathcal{P}(X),\text{ }I(A\cap B)=I(A)\cap I(B)\]allora la famiglia \(\mathcal{T}\) di tutti i sottoinsiemi di $X$ tali che \(I(A)=A\) è una topologia.
Vorrei dimostrarlo e mi sembrerebbe tutto immediato, se non fosse che non riesco a dimostrare che l'unione di una qualsiasi famiglia di insiemi di \(\mathcal{T}\) sta ancora in \(\mathcal{T}\).
Qualcuno ha un'idea?
Ho cercato tutto il pomeriggio su Internet, ma non trovo nulla...
Inoltre, per ogni sottoinsieme \(S\subset X\) si ha \(I(S)=\text{Int}(S)\) (\(\text{Int}\) è l'interno) e anche qua proprio non so come fare...
Mi sta prendendo lo sconforto circa la fattibilità di studiare geometria II sul Sernesi per un autodidatta, visto che mancano le soluzioni di gran parte degli esercizi, anche e soprattutto di quelli teorici, che direi i più importanti per la formazione della propria cultura matematica...
Grazie di cuore a chi mi tirerà un salvagente...
P.S.: Qualcuno sa per caso se si trovi qualche dispensa o simili con le soluzioni agli esercizi di Geometria II del Sernesi, in rete o altrove?
Vorrei dimostrarlo e mi sembrerebbe tutto immediato, se non fosse che non riesco a dimostrare che l'unione di una qualsiasi famiglia di insiemi di \(\mathcal{T}\) sta ancora in \(\mathcal{T}\).
Qualcuno ha un'idea?
Ho cercato tutto il pomeriggio su Internet, ma non trovo nulla...
Inoltre, per ogni sottoinsieme \(S\subset X\) si ha \(I(S)=\text{Int}(S)\) (\(\text{Int}\) è l'interno) e anche qua proprio non so come fare...
Mi sta prendendo lo sconforto circa la fattibilità di studiare geometria II sul Sernesi per un autodidatta, visto che mancano le soluzioni di gran parte degli esercizi, anche e soprattutto di quelli teorici, che direi i più importanti per la formazione della propria cultura matematica...
Grazie di cuore a chi mi tirerà un salvagente...
P.S.: Qualcuno sa per caso se si trovi qualche dispensa o simili con le soluzioni agli esercizi di Geometria II del Sernesi, in rete o altrove?
Risposte
Mi pare che se $A,B\in\mathcal{T}$ allora $I(A\cup B)\subset A\cup B=I(A)\cup I(B)$, non ti sembra? (Ho usato la seconda proprietà). Per cui se estendi ad un unione qualsiasi....
E mi sembra (ma non mi sono messo a farei dettagli) che usando questa cosa tu possa anche far vedere la cosa riguardo l'interno. Solo che l'ora è tarda, sono sfinito e il mio PC sbarella, altrimenti sarei un tantinello più preciso!
E mi sembra (ma non mi sono messo a farei dettagli) che usando questa cosa tu possa anche far vedere la cosa riguardo l'interno. Solo che l'ora è tarda, sono sfinito e il mio PC sbarella, altrimenti sarei un tantinello più preciso!
Grazie, ciampax!!! Per questa inclusione ci sono: \(I(\bigcup_{j\in J}A_j)\subset\bigcup_{j\in J}A_j=\bigcup_{j\in J}I(A_j) \), ma per l'inclusione opposta no... non sono riuscito a determinare perché si debba anche avere che \(\bigcup_{j\in J}I(A_j)\subset I(\bigcup_{j\in J}A_j)\)... 
\(\bigcup_{j\in \mathbb{R}}\{\text{grazie}\}_j\) (innumerabili)
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