Operatore autoaggiunto rispetto ad un prodotto scalare non canonico
Salve a tutti,
ho trovato questa richiesta in un tema di esame:
si consideri la matrice $ ( ( 2 , 0 , 0 ),( -4 , 2 , -3 ),( -3 , 0 , -1 ) ) $
Si costruisca un prodotto scalare non nullo $ phi $ su R^3 tale che l'applicazione $ L_A: R^3 - R^3 $ sia autoaggiunta. Può essere definito positivo? (Suggerimento: considerare la base di R^3 formata dal vettore $ z=(1,0,-1) $ e da due autovettori di $ L_A $)
La matrice non è diagonalizzabile, ma dei suoi 2 autovettori cosa ne faccio? Grazie!
ho trovato questa richiesta in un tema di esame:
si consideri la matrice $ ( ( 2 , 0 , 0 ),( -4 , 2 , -3 ),( -3 , 0 , -1 ) ) $
Si costruisca un prodotto scalare non nullo $ phi $ su R^3 tale che l'applicazione $ L_A: R^3 - R^3 $ sia autoaggiunta. Può essere definito positivo? (Suggerimento: considerare la base di R^3 formata dal vettore $ z=(1,0,-1) $ e da due autovettori di $ L_A $)
La matrice non è diagonalizzabile, ma dei suoi 2 autovettori cosa ne faccio? Grazie!
Risposte
Nessuno Che mi sappia aiutare?
Con prodotto scalare intendi una forma bilineare simmetrica o soltanto forma bilineare?
Comunque, comincia a determinare autovettori e autovalori corrispondenti. Può darti un'idea su che direzione prendere.
Osserva che, affinché l'applicazione sia autoaggiunta, gli autovettori dovranno essere ortogonali rispetto $\phi$, oppure relativi allo stesso autovalore. Infatti,
$$\phi(Av,w) = \phi(v, Aw) \Leftrightarrow \lambda \phi(v,w) = \mu \phi(v,w) \Leftrightarrow (\lambda - \mu) \phi(v,w) = 0$$
Inoltre, osserva che il prodotto $\phi$ è univocamente determinato dalle coppie $\phi(v_i, v_j)$ sulle coppie di vettori di una base. Quindi basta imporre delle condizioni su queste. Inoltre, se il prodotto dev'essere simmetrico, è sufficiente imporle per $i \leq j$.
Comunque, comincia a determinare autovettori e autovalori corrispondenti. Può darti un'idea su che direzione prendere.
Osserva che, affinché l'applicazione sia autoaggiunta, gli autovettori dovranno essere ortogonali rispetto $\phi$, oppure relativi allo stesso autovalore. Infatti,
$$\phi(Av,w) = \phi(v, Aw) \Leftrightarrow \lambda \phi(v,w) = \mu \phi(v,w) \Leftrightarrow (\lambda - \mu) \phi(v,w) = 0$$
Inoltre, osserva che il prodotto $\phi$ è univocamente determinato dalle coppie $\phi(v_i, v_j)$ sulle coppie di vettori di una base. Quindi basta imporre delle condizioni su queste. Inoltre, se il prodotto dev'essere simmetrico, è sufficiente imporle per $i \leq j$.
Ho trovato gli autovettori:
$ v_1=^t(0,1,1) $
$ v_2=^t(0,1,0) $
Il terzo vettore mi è dato ed è $ v_3=^t(1,0,-1) $
Poichè $ (lambda-mu)phi(v,w)=0 $
posso porre:
$ phi(v_1,v_2)=phi(v_3,v_3)=0 $ e
$ phi(v_1,v_1)=phi(v_2,v_2)=1 $
Così che il prodotto scalare non sia degenere e rispetti la condizione sopra. Per il momento va bene?
$ v_1=^t(0,1,1) $
$ v_2=^t(0,1,0) $
Il terzo vettore mi è dato ed è $ v_3=^t(1,0,-1) $
Poichè $ (lambda-mu)phi(v,w)=0 $
posso porre:
$ phi(v_1,v_2)=phi(v_3,v_3)=0 $ e
$ phi(v_1,v_1)=phi(v_2,v_2)=1 $
Così che il prodotto scalare non sia degenere e rispetti la condizione sopra. Per il momento va bene?
Non ho capito perché hai posto $\phi(v_3,v_3)=0$.
Ora si tratta di imporre le condizioni $$\phi(Tv_1,v_3) = \phi(v_1,Tv_3)$$
e $$ \phi(Tv_2,v_3)= \phi(v_2,Tv_3)$$
I membri di sinistra sono uguali rispettivamente a $\lambda \phi(v_1,v_3)$ e $\mu \phi(v_2,v_3)$ e questo dovrebbe aiutarti a trovare queste coppie. Ti consiglio di calcolarti preliminarmente $Tv_3$.
Ora si tratta di imporre le condizioni $$\phi(Tv_1,v_3) = \phi(v_1,Tv_3)$$
e $$ \phi(Tv_2,v_3)= \phi(v_2,Tv_3)$$
I membri di sinistra sono uguali rispettivamente a $\lambda \phi(v_1,v_3)$ e $\mu \phi(v_2,v_3)$ e questo dovrebbe aiutarti a trovare queste coppie. Ti consiglio di calcolarti preliminarmente $Tv_3$.
Perfetto. Ora ho capito. Prima avevo mandato $ phi(v_3,v_3) $ a zero per l'arbitrarietà della scelta del prodotto scalare.
Per semplicità ho considerato la matrice $ B=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ rispetto alla base formata dai tre vettori. Quindi ho considerato la matrice cambiamento di base da quella canonica a quella formata dai vettori ed ho ottenuto:
$ C=( ( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ) ) $
Si vede che $ ^t A C= CA $
Per semplicità ho considerato la matrice $ B=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ rispetto alla base formata dai tre vettori. Quindi ho considerato la matrice cambiamento di base da quella canonica a quella formata dai vettori ed ho ottenuto:
$ C=( ( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ) ) $
Si vede che $ ^t A C= CA $
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