Omotopie ed estremi
Tutte le volte che ho sentito parlare di omotopia, ho anche trovato delle ipotesi aggiuntive, mi chiedo se siano necessarie. Supponiamo di avere due cammini $gamma, psi$ in un aperto $Omega$ di $RR^n$ (o di $CC$). Se i due cammini sono chiusi (circuiti) allora diremo che sono $Omega$-omotopi se esiste una trasformazione continua $H:[0,1]times[0,1]\toOmega$ tale che $H(*, 0)=gamma(*), H(*, 1)=psi(*)$. E non ci sono problemi.
Se invece i due cammini non sono chiusi, ho sempre trovato queste ipotesi aggiuntive:
$gamma, psi$ devono avere gli stessi estremi $gamma(0)=psi(0), gamma(1)=psi(1)$ e inoltre questi devono essere lasciati fissi dalla $H$ ($H(0, lambda)=gamma(0)=psi(0)$ per ogni $lambda$, e lo stesso per $H(1, lambda)$).
Mi chiedevo che cosa potrebbe succedere se lasciassimo cadere queste ultime ipotesi. Non mi interessa molto parlare di cammini con estremi diversi. Mentre mi incuriosisce sapere cosa succede se consideriamo $gamma, psi$ con gli stessi estremi, e una trasformazione $H$ come sopra, che però non necessariamente li lascia fissi. Funziona ancora, ad esempio, il teorema di Cauchy (ogni funzione olomorfa ha gli integrali invarianti per omotopia dei cammini, per dirla a parole)?
(Io credo di no ma mi farebbe comodo una conferma).
Se invece i due cammini non sono chiusi, ho sempre trovato queste ipotesi aggiuntive:
$gamma, psi$ devono avere gli stessi estremi $gamma(0)=psi(0), gamma(1)=psi(1)$ e inoltre questi devono essere lasciati fissi dalla $H$ ($H(0, lambda)=gamma(0)=psi(0)$ per ogni $lambda$, e lo stesso per $H(1, lambda)$).
Mi chiedevo che cosa potrebbe succedere se lasciassimo cadere queste ultime ipotesi. Non mi interessa molto parlare di cammini con estremi diversi. Mentre mi incuriosisce sapere cosa succede se consideriamo $gamma, psi$ con gli stessi estremi, e una trasformazione $H$ come sopra, che però non necessariamente li lascia fissi. Funziona ancora, ad esempio, il teorema di Cauchy (ogni funzione olomorfa ha gli integrali invarianti per omotopia dei cammini, per dirla a parole)?
(Io credo di no ma mi farebbe comodo una conferma).
Risposte
"dissonance":
Tutte le volte che ho sentito parlare di omotopia, ho anche trovato delle ipotesi aggiuntive, mi chiedo se siano necessarie. Supponiamo di avere due cammini $gamma, psi$ in un aperto $Omega$ di $RR^n$ (o di $CC$). Se i due cammini sono chiusi (circuiti) allora diremo che sono $Omega$-omotopi se esiste una trasformazione continua $H:[0,1]times[0,1]\toOmega$ tale che $H(*, 0)=gamma(*), H(*, 1)=psi(*)$. E non ci sono problemi.
Se invece i due cammini non sono chiusi, ho sempre trovato queste ipotesi aggiuntive:
$gamma, psi$ devono avere gli stessi estremi $gamma(0)=psi(0), gamma(1)=psi(1)$ e inoltre questi devono essere lasciati fissi dalla $H$ ($H(0, lambda)=gamma(0)=psi(0)$ per ogni $lambda$, e lo stesso per $H(1, lambda)$).
Mi chiedevo che cosa potrebbe succedere se lasciassimo cadere queste ultime ipotesi. Non mi interessa molto parlare di cammini con estremi diversi. Mentre mi incuriosisce sapere cosa succede se consideriamo $gamma, psi$ con gli stessi estremi, e una trasformazione $H$ come sopra, che però non necessariamente li lascia fissi. Funziona ancora, ad esempio, il teorema di Cauchy (ogni funzione olomorfa ha gli integrali invarianti per omotopia dei cammini, per dirla a parole)?
(Io credo di no ma mi farebbe comodo una conferma).
Direi che hai ragione. Prendiamo $f(z)=1/z$, e prendiamo $\gamma(t)=e^{it}$, $\psi(t)=e^{-it}$ per $0\leq t\leq\pi$. Come e' noto l'integrale di $f$ su $\gamma$ e' diverso dall'integrale
di $f$ su $\psi$. Ma $\gamma$ e $\psi$ sono omotope nel tuo "senso" debole, infatti puoi definire:
$H(t,s):=e^{i(1-2s)t}$ per $0\leq t\leq\pi$ e $0\leq s\leq 1$ che ti permette di deformare $\gamma$ in $\psi$,
rimanendo addirittura nella circonferenza, ma muovendo un estremo (che pure, alla fine della deformazione, "torna al suo posto"). .
Perfetto! grazie mille VG, io purtroppo non sono abbastanza pratico per costruirmi esempi come questo.
Ora chiedo un'ultima conferma: questo fenomeno può succedere anche con i circuiti? Se ho capito bene, no: dati due circuiti $gamma, psi$ omotopi (con un qualunque comportamento degli estremi) e una funzione olomorfa $f$, allora $oint_gammaf=oint_psif$. Mi sbaglio?
Ora chiedo un'ultima conferma: questo fenomeno può succedere anche con i circuiti? Se ho capito bene, no: dati due circuiti $gamma, psi$ omotopi (con un qualunque comportamento degli estremi) e una funzione olomorfa $f$, allora $oint_gammaf=oint_psif$. Mi sbaglio?
"dissonance":
Perfetto! grazie mille VG, io purtroppo non sono abbastanza pratico per costruirmi esempi come questo.
Ora chiedo un'ultima conferma: questo fenomeno può succedere anche con i circuiti? Se ho capito bene, no: dati due circuiti $gamma, psi$ omotopi (con un qualunque comportamento degli estremi) e una funzione olomorfa $f$, allora $oint_gammaf=oint_psif$. Mi sbaglio?
Se con circuiti intendi curve chiuse allora la risposta e' si'.
Se non metti niente ( e' vero che partivi da curve aventi gli stessi estremi ma ammettevi che le deformazioni viaggiassero tra curve arbitarie), non c'e' da stupirsi che il risultato sia falso.
Ripensa alla questione (nel mio esempio) in questi termini: $\Omega=CC\setminus {0})$ (oppure $\Omega=RR^2\setminus {(0,0)}$)
1) se prendi un elastico che fa un giro intorno all'origine non puoi "slacciarlo" con una deformazione continua in $\Omega$.
2) se prendi due cordicelle tra $1$ e $-1$ ($(1,0)$ e $(-1,0)$, non puoi portare l'una nell'altra senza passare per l'origine - tenendole inchiodate agli estremi.
3) se invece ammetti che le due cordicelle del punto 2) abbiano almeno un estremo libero, sono sicuro che sei perfettamente in grado di immaginarti una deformazione continua in $\Omega$ che manda una cordicella nell'altra; poi che tu pensi a quella che ho scritto io (in cui l'estremo libero "scorre "sulla circonferenza) non e' cosi' importante.
Certo. I tuoi punti 1, 2, 3 mi sono chiari. Il prossimo argomento su cui sto riflettendo è il perché sui circuiti (curve chiuse), invece, possiamo non preoccuparci degli estremi. Mi spiego meglio:
Se prendiamo due circonferenze centrate nell'origine di $CC$, ma di raggio diverso, possiamo integrare $1/z$ indifferentemente su una delle due, ottenendo sempre lo stesso risultato. Eppure queste due circonferenze non sono "omotope con gli estremi fissati" (voglio dire, non esistono deformazioni di una nell'altra che fissano i rispettivi estremi. In questo caso addirittura gli estremi sono diversi.)
Tuttavia questa nozione di omotopia "light", che non fissa gli estremi, è stata sufficiente. E sarebbe stata sufficiente per una qualsiasi coppia di curve chiuse fatte in maniera analoga. Invece per le semicirconferenze del tuo esempio di prima, che curve chiuse non sono, non è stata sufficiente, e difatti abbiamo ottenuto due integrali diversi.
Cos'hanno le curve chiuse in più rispetto alle curve in generale?
Se prendiamo due circonferenze centrate nell'origine di $CC$, ma di raggio diverso, possiamo integrare $1/z$ indifferentemente su una delle due, ottenendo sempre lo stesso risultato. Eppure queste due circonferenze non sono "omotope con gli estremi fissati" (voglio dire, non esistono deformazioni di una nell'altra che fissano i rispettivi estremi. In questo caso addirittura gli estremi sono diversi.)
Tuttavia questa nozione di omotopia "light", che non fissa gli estremi, è stata sufficiente. E sarebbe stata sufficiente per una qualsiasi coppia di curve chiuse fatte in maniera analoga. Invece per le semicirconferenze del tuo esempio di prima, che curve chiuse non sono, non è stata sufficiente, e difatti abbiamo ottenuto due integrali diversi.
Cos'hanno le curve chiuse in più rispetto alle curve in generale?
"dissonance":
Certo. I tuoi punti 1, 2, 3 mi sono chiari. Il prossimo argomento su cui sto riflettendo è il perché sui circuiti (curve chiuse), invece, possiamo non preoccuparci degli estremi. Mi spiego meglio:
Se prendiamo due circonferenze centrate nell'origine di $CC$, ma di raggio diverso, possiamo integrare $1/z$ indifferentemente su una delle due, ottenendo sempre lo stesso risultato. Eppure queste due circonferenze non sono "omotope con gli estremi fissati" (voglio dire, non esistono deformazioni di una nell'altra che fissano i rispettivi estremi. In questo caso addirittura gli estremi sono diversi.)
Tuttavia questa nozione di omotopia "light", che non fissa gli estremi, è stata sufficiente. E sarebbe stata sufficiente per una qualsiasi coppia di curve chiuse fatte in maniera analoga. Invece per le semicirconferenze del tuo esempio di prima, che curve chiuse non sono, non è stata sufficiente, e difatti abbiamo ottenuto due integrali diversi.
Cos'hanno le curve chiuse in più rispetto alle curve in generale?
Non so se sia corretto ritenere che tra omotopie a estremi fissi e omotopie tra curve chiuse ci sia "una gerarchia", che una sia cioe' piu' "light" dell'altra.
Infatti e' vero che nel secondo caso non si fissano gli estremi - in compenso pero' si impone una condizione aggiuntiva, per l'appunto che le curve siano chiuse.
Le due classi sono quindi "sgembre".
In realta' pero', usare le curve chiuse o le curve a estremi fissi e' equivalente nel contesto dell'analisi complessa (o della teoria
delle forme differenziali). Dovrebbero infatti essere equivalenti i fatti seguenti: data una qualunque funzione $f:\Omega\to CC$ (non conta che sia olomorfa, anche se mi pare
che questo poi sia una conseguenza)
1) Per ogni $\gamma$ e $\psi$ (con gli stessi estremi) omotope a estremi fissi si ha $\int_{\gamma}f(z)dz=\int_{\psi}f(z)dz$
2) Per ogni $\gamma$ e $\psi$ (chiuse) omotope come curve chiuse si ha $\int_{\gamma}f(z)dz=\int_{\psi}f(z)dz$
3) Per ogni $\gamma$ (chiusa) omotopa come curva chiusa a una costante $\int_{\gamma}f(z)dz=0$
Ti posso dare un'idea delle dimostrazioni - non sono sicuro che non ce ne siano di piu' semplici. Ti consiglio di farti dei disegni.
- E' chiaro che 2) implica 3).
- E' abbastanza facile vedere che 3) implica 1) considerando la curva chiusa $\phi=\gamma-\psi$ che percorre prima la $\gamma$ e poi torna indietro seguendo $\psi$ in senso inverso.
Usando l'omotopia tra $\gamma$ e $\psi$ puoi ottenere una deformazione tra $\phi$ e la curva chiusa $\psi-\psi$ (andata e ritorno su $\psi$) - quest'ultima la deformi facilmente a una costante.
- Per vedere che 1) implica 2) prendi $\gamma:[a,b]\to\Omega$ e $\psi:[a,b]\to\Omega$ chiuse e omotope tra loro tra le curve chiuse. Supponiamo che $H:[a,b]\times[0,1]\to\Omega$ sia
l'omotopia. Se consideri $\phi:[0,1]\to\Omega$ definita da $\phi(s)=H(a,s)$ definisci una curva in $\Omega$ che congiunge $\gamma(a)$ a $\psi(a)$. Considera ora $\psi_1=\phi+\psi-\phi$
(lascio a te indovinare il senso della somma ...). Vedi facilmente (usando la $H$) che $\gamma$ e $\psi_1$ sono omotope a estremi fissi; ne deduci
$\int_\gamma f(z)dz=\int_{\psi_1}f(z)dz=\int_{\phi}f(z)dz+\int_{\psi}f(z)dz+\int_{-\phi}f(z)dz=\int_{\phi}f(z)dz+\int_{\psi}f(z)dz-\int_{\phi}f(z)dz=\int_{\psi}f(z)dz$
Hope it helps
"ViciousGoblin":
Hope it helps
Se vuoi saperlo hai centrato in pieno un mio dubbio. Mi stavo appunto chiedendo (dal pomeriggio) se fosse possibile fornire una proposizione come questa. Il fatto che sia possibile aiuta moltissimo il mio ordine mentale.
Purtroppo c'è un punto che non mi quadra, ed è l'implicazione 1$=>$2.
Per prima cosa, quando definiamo $phi(s)=H(a, s)$, la curva che otteniamo non è regolare a tratti, giusto?... E come faccio a integrarci sopra la $f$?
Ma anche volendo risolvere questo problema (pensavo di considerare una poligonale: in fondo $gamma(a)$ e $psi(a)$ sono tutte e due nell'immagine di $H$, ovvero in un connesso), c'è un'altra cosa -più importante- che non mi torna.
Le curve $gamma$ e $phi+psi-phi$ hanno sì gli stessi estremi, ma $H$ non li lascia fissi... mi sbaglio? Infatti mi pare che $H$ sposti gli estremi di $gamma$ proprio secondo la curva $phi$. E quindi questa non è un'omotopia che fissa gli estremi, IMHO.
"dissonance":
[quote="ViciousGoblin"] Hope it helps
Se vuoi saperlo hai centrato in pieno un mio dubbio. Mi stavo appunto chiedendo (dal pomeriggio) se fosse possibile fornire una proposizione come questa. Il fatto che sia possibile aiuta moltissimo il mio ordine mentale.
Purtroppo c'è un punto che non mi quadra, ed è l'implicazione 1$=>$2.
Per prima cosa, quando definiamo $phi(s)=H(a, s)$, la curva che otteniamo non è regolare a tratti, giusto?... E come faccio a integrarci sopra la $f$?
Ma anche volendo risolvere questo problema (pensavo di considerare una poligonale: in fondo $gamma(a)$ e $psi(a)$ sono tutte e due nell'immagine di $H$, ovvero in un connesso), c'è un'altra cosa -più importante- che non mi torna.
Le curve $gamma$ e $phi+psi-phi$ hanno sì gli stessi estremi, ma $H$ non li lascia fissi... mi sbaglio? Infatti mi pare che $H$ sposti gli estremi di $gamma$ proprio secondo la curva $phi$. E quindi questa non è un'omotopia che fissa gli estremi, IMHO.[/quote]
Il problema in effetti e' delicato e quelle che ti ho indicato solo solo suggerimenti. In realta', anche nei testi, su queste questioni spesso si "tira via".
Riguardo al primo punto la questione si sistema con dei teoremi di densita' delle $C^1$ nelle continue, Se supponi $\gamma$ $\psi$ e $H$ di classe $C^1$ la cosa ti dovrebbe tornare - il cas generale poi si aggiusta ... Oppure puoi congiungere le due curve come dici tu con una poligonale (poi pero' si complica, ma in modo risolvibile, la questione dell'omotopia tra $\gamma$ e $\psi_1$)
Riguardo al secondo punto non e' $H$ l'omotopia tra $\gamma$ e $\psi_1$ ma una opportuna $H_1$ che si costruisce tramite $H$ - quando uno ha un po' di pratica si fa un disegnino e
intuisce come fare. Ci penso un attimo e poi ti mando la definizione di $H_1$
La cosa e' un po' macchinosa nonostante l'idea sia semplice
.
Suppponiamo che $\gamma:[a,b]\to\Omega$ e $\psi:[a,b]\to\Omega$. Allora un modo di parametrizzare $\psi_1$ e'
considerare $\psi_1:[a-1,b+1]\to\Omega$ definita da
$\psi_1(t)=H(a,t-a+1)$ se $a-1\leq t\leq a$
$\psi_1(t)=\psi(t)$ se $a\leq t\leq b$
$\psi_1(t)=H(a,b+1-t)$ se $b\leq t\leq b+1$.
Ora purtroppo $\gamma$ e $\psi_1$ non sono defiite sullo stesso intervallo e per considerare un'omotopia tra di loro
dobbiamo riparametrizzarne una - riparametrizziamo $\gamma$ e consideriamo $\gamma_1:[a-1,b+1]\to \Omega$ definita da
$\gamma_1(t):=\gamma(a+((b-a)/(b-a+2))(t-a+1))$
A questo punto definiamo $H_1:[a-1,b+1,0,1]$ ponendo
$H_1(t,s):= H(a,t-a+1)$ se $a-1\leq t\leq a-1+s$
$H_1(t,s):= H(a+((b-a)/(b-a+2-2s))(t-a+1-s),s)$ se $a-1+s\leq t\leq b+1-s$
$H_1(t,s):= H(a,b+1-t)$ se $b+1-s\leq t\leq b+1$
La $H_1$, se non ho sbagliato (cosa tutt'altro che impossibile ... ) , fornisce un omotopia tra $\gamma_1$ e $\psi_1$
.
Suppponiamo che $\gamma:[a,b]\to\Omega$ e $\psi:[a,b]\to\Omega$. Allora un modo di parametrizzare $\psi_1$ e'
considerare $\psi_1:[a-1,b+1]\to\Omega$ definita da
$\psi_1(t)=H(a,t-a+1)$ se $a-1\leq t\leq a$
$\psi_1(t)=\psi(t)$ se $a\leq t\leq b$
$\psi_1(t)=H(a,b+1-t)$ se $b\leq t\leq b+1$.
Ora purtroppo $\gamma$ e $\psi_1$ non sono defiite sullo stesso intervallo e per considerare un'omotopia tra di loro
dobbiamo riparametrizzarne una - riparametrizziamo $\gamma$ e consideriamo $\gamma_1:[a-1,b+1]\to \Omega$ definita da
$\gamma_1(t):=\gamma(a+((b-a)/(b-a+2))(t-a+1))$
A questo punto definiamo $H_1:[a-1,b+1,0,1]$ ponendo
$H_1(t,s):= H(a,t-a+1)$ se $a-1\leq t\leq a-1+s$
$H_1(t,s):= H(a+((b-a)/(b-a+2-2s))(t-a+1-s),s)$ se $a-1+s\leq t\leq b+1-s$
$H_1(t,s):= H(a,b+1-t)$ se $b+1-s\leq t\leq b+1$
La $H_1$, se non ho sbagliato (cosa tutt'altro che impossibile ... ) , fornisce un omotopia tra $\gamma_1$ e $\psi_1$
Aaaaaahhhhnnn.... ho capito. (O almeno credo). Io mi ero fissato col fatto che l'omotopia tra $gamma$ e $psi_1$ fosse la stessa $H$ che deforma $gamma$ in $psi$. Chiaramente questo è sbagliato, e mi faceva bloccare.
Mi dispiace di averti fatto perdere tempo con la seccatura di costruire $H_1$. (Ad avere saputo che era così fastidioso non te l'avrei chiesto. Ma purtroppo se l'avessi saputo a priori non ci sarebbe stata ragione per chiedere nulla
). Come sempre mi sei stato MOLTO utile.
Mi dispiace di averti fatto perdere tempo con la seccatura di costruire $H_1$. (Ad avere saputo che era così fastidioso non te l'avrei chiesto. Ma purtroppo se l'avessi saputo a priori non ci sarebbe stata ragione per chiedere nulla
). Come sempre mi sei stato MOLTO utile.
"dissonance":
(Ad avere saputo che era così fastidioso non te l'avrei chiesto. Ma purtroppo se l'avessi saputo a priori non ci sarebbe stata ragione per chiedere nulla
logico, Mr. Spock
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