Omotopica equivalenze del toro meno un punto

[Angus1956]

Si provi che il complementare di un punto in $S^1xxS^1$ è omotopicamente equivalente al bouquet di $2$ circonferenze $S^1 ∨ S^1$.

Abbiamo che $S^1xxS^1$ è omeomorfo al quoziente $([0, 1]xx [0, 1])/ /∼$ dove $∼$ è la relazione di equivalenza sul quadrato $[0, 1]xx[0, 1]$ generata da $(x, 0) ∼ (x, 1)$ e $(0, y) ∼ (1, y)$ al variare di $x, yin[0, 1]$. A meno di traslazione possiamo considerare il punto interno al quadrato $[0, 1]xx[0, 1]$, così da retrarre tutto sul bordo (osservare che la retrazione lascia equivalenti i punti che erano equivalenti rispetto a $∼$) e ottenere uno spazio omeomorfo a $S^1 ∨ S^1$ (se infatti ci limitiamo a studiare la relazione di equivalenza $∼$ sul bordo di $[0, 1]xx[0, 1]$ si ha qualcosa di omeomorfo al boquet di 2 circonferenze) e quindi otteniamo una equivalenza omotopica con $S^1 ∨ S^1$

[megas_archon]

Usa Van Chiappe. Questo esercizio è talmente classico che sta persino nel Massey.

[Angus1956]

"megas_archon":Usa Van Chiappe. Questo esercizio è talmente classico che sta persino nel Massey.

Ma scusa Van Kampen non è un teorema sui gruppi fondamentali? A me serve mostrare l'omotopa equivalenza.

[megas_archon]

Stessa cosa che di là. In particolare, si dice "equivalenza omotopica".

[Angus1956]

Vabbe però quello che ho scritto io dovrebbe essere giusto no? (forse solo più complicato ma il teorema di Whited non lo conoscevo e seppur molto utile e interessante adesso preferisco esercitarmi un po' più sulle retrazioni per deformazioni)