Omomorfismo tra $U(n)$ e $S^1$

[squalllionheart]

Allora non capisco come funziona l'omomorrfismo che va da $U(n)$, il gruppo unitario, in $S^1$, la circonferenza. L'applicazione è : $det:U(n)->S^1$ tale che $a->det(a)$ il nucleo è $SU(n)$. Potete spiegarmi come funziona?
Grazie

[rubik2]

il teorema di binet ti assicura che $det(AB)=det(A)det(B)$ e quindi che il determinante è un omomorfismo di gruppi ($S^1$ è un gruppo moltiplicativo) il ker è ${A in U(n) \ | \ det(A)=1}$ che per definizione è $SU(n)$

[squalllionheart]

Ok... la cosa che non mi torna è se l'applicazione definita in questo modo è effettivamente ben posta, nel senso che $U(n)$ sono matrici a coefficenti complesse t.c. $a^ta=I$, chi mi dice che il $det(a)$ che è un numero complesso che appartiene a un elemento di $S^1$?

[gianni802]

giusta domanda
$ A A^t=I => |A A^t|=|I| => |A|^2=1 => |A|=+-1 => |A| in S^1$

[squalllionheart]

grazie

[apatriarca]

Attenti al calcolo dei determinanti e alle definizioni dei gruppi che usati. Il gruppo U(n) è il gruppo $\{A | \bar{A^t}A = I\}$, dove $\bar{A^t}$ è la trasposta coniugata. Inoltre il determinante è un numero complesso (e non reale perché stiamo lavorando nei numeri complessi) e vale la relazione $det(\bar{A}) = \bar{det(A)}$ cioè la coniugazione commuta con il determinante. Quindi prendendo la relazione che definisce gli elementi del gruppo e facendo il determinante si ottiene la relazione $||det(A)|| = 1$ e quindi $det(A) \in S^1$. Spero sia chiaro.

[gianni802]

giusta precisazione