Omomorfismi tra spazi topologici

[ImpaButty]

Salve! Sto sudiando gli omomorfismi tra spazi topologici e vorrei risolvere alcuni esercizi tra cui questo:
"Provare che la retta euclidea, la retta di Sorgenfrey e il piano euclideo sono a due a due non omomorfi."

So che in topologia, f funzione è un omorfismo se è continua,biettiva e se la sua inversa è continua.
Quando vado a stabilire gli insiemi di definizione della f che devo esaminare, vado ad introdurre una determinata topologia nello spazio metrico, diversa in base agli spazi che considero.
Mi chiedo, è proprio il fatto che le rispettive topologie degli spazi sono diverse a rendere la funzione non omomorfa?

Qualcuno mi aiuta con questo esercizio?
Grazie mille!

[Martino]

in topologia, f funzione è un omorfismo se è continua,biettiva e se la sua inversa è continua.

Il termine giusto non è "omomorfismo" ma "omeomorfismo".

Quello che ti conviene usare è l'idea di proprietà topologicamente invarianti. Una proprietà di uno spazio topologico X si dice topologicamente invariante se ogni spazio Y omeomorfo ad X la verifica. In termini più comprensibili si tratta di proprietà che riguardano solo la struttura topologica di X. Per esempio la connessione e la compattezza sono invarianti topologici.

Per provare che due spazi topologici non sono omeomorfi devi trovare proprietà topologicamente invarianti che uno spazio soddisfa e l'altro no.

Io ti consiglio di trovare sottoinsiemi connessi in uno spazio, sconnessi nell'altro, e caratterizzati da "invarianti insiemistici".

Per esempio per dimostrare che la retta R non è omeomorfa al piano P puoi considerare un punto r della retta R e un punto p del piano P ed osservare che R-{r} (la retta R privata del punto r) è sconnesso in R, mentre P-{p} (il piano P privato del punto p) è connesso in P. Il concetto è che un qualsiasi omeomorfismo [tex]f:R \to P[/tex] (se esiste) manda un sottoinsieme di R della forma R-{r} in un sottoinsieme di P della forma P-{p} (qui l'idea è pensare i punti come "invarianti insiemistici"). Quindi manda uno sconnesso in un connesso, assurdo.

Per quanto riguarda la retta di Sorgenfrey ti consiglio di indagarne i sottoinsiemi connessi.

[dissonance]

Per la retta di Sorgenfrey puoi pensare anche alle basi numerabili di aperti. Infatti la retta di Sorgenfrey... Mentre invece la retta e il piano ordinari...