Omomorfismi tra anelli e nucleo di una funzione
Salve, volevo chiedere una delucidazione riguardo un esercizio affrontato in algebra 1,
Devo provare che l'applicazione $\varphi$ : A $\rightarrow$ $ZZ10$, tale che, per ogni a,b che appartengono a $ZZ$
\varphi $((a,4b),(-4b,a))$ = [a+2b]10
si tratta di omomorfismi tra anelli quindi devo provare che f(x+y)=f(x)+f(y) e f(xy)= f(x)f(y), per quando riguarda la prima non ci sono problemi, per il prodotto invece io eseguo prima la moltiplicazione tra matrici, poi applico la funzione e cerco di dividere la classe di resto ottenuta nella moltiplicazione di due classi di resto che mi riportano alla funzione, ma i conti non tornano.
Poi mi chiede di determinare il nucleo Ker \varphi, essendo il nucleo per definizione gli elementi del primo anello che vanno nell'elemento neutro del secondo anello, devo risolvere $\varphi$ $((a,4b),(-4b,a))$ = [0]10 e quindi diventano tutti gli a,b che risolvono questa equazione a+2b = n10 ove n appartiene a $NN$ e a,b appartengono a $ZZ$, il ragionamento che seguo è corretto o mi perdo in qualche cavillo? grazie a tutti quelli che risponderanno
Devo provare che l'applicazione $\varphi$ : A $\rightarrow$ $ZZ10$, tale che, per ogni a,b che appartengono a $ZZ$
\varphi $((a,4b),(-4b,a))$ = [a+2b]10
si tratta di omomorfismi tra anelli quindi devo provare che f(x+y)=f(x)+f(y) e f(xy)= f(x)f(y), per quando riguarda la prima non ci sono problemi, per il prodotto invece io eseguo prima la moltiplicazione tra matrici, poi applico la funzione e cerco di dividere la classe di resto ottenuta nella moltiplicazione di due classi di resto che mi riportano alla funzione, ma i conti non tornano.
Poi mi chiede di determinare il nucleo Ker \varphi, essendo il nucleo per definizione gli elementi del primo anello che vanno nell'elemento neutro del secondo anello, devo risolvere $\varphi$ $((a,4b),(-4b,a))$ = [0]10 e quindi diventano tutti gli a,b che risolvono questa equazione a+2b = n10 ove n appartiene a $NN$ e a,b appartengono a $ZZ$, il ragionamento che seguo è corretto o mi perdo in qualche cavillo? grazie a tutti quelli che risponderanno
Risposte
Scusami se faccio il rompi..... ma hai verificato che quella relazione sia una funzione?
Mi sono dimenticato di specificare che A ={ $((a,4b),(-4b,a))$|a,b appartengono a $ZZ$} comunque la traccia di esame mi dà l'applicazione quindi non mi sono preoccupato di fare una verifica, essendo un'ipotesi
Ora mi torna che \(\displaystyle\varphi\) è una funzione ben definita!
Puoi postare i calcoli in cui non ti trovi?
Puoi postare i calcoli in cui non ti trovi?
$\varphi$ [$((a,4b),(-4b,a))$ $((a',4b'),(-4b',a'))$] = $\varphi$ $((aa'-16b b',4a'b+ab'),(-(4a'b+4ab'),aa'-16b b'))$ =[aa'-16bb'+2(4ab'+4a'b)]10
questo dovrebbe essere uguale a [a+2b]10 [a'+2b']10 ma non riesco a dimostrarlo
questo dovrebbe essere uguale a [a+2b]10 [a'+2b']10 ma non riesco a dimostrarlo
Attent* che ci sono due \(\displaystyle4\) di troppo nell'ultimo termine. 
e il -16bb'? quello resta il mio problema
\(\displaystyle-16\) modulo \(\displaystyle10\) chi diventa?
Vero, 4 modulo 10, grazie mille ho risolto questo 
e per quanto riguarda il nucleo? è quello che ho scritto nel primo messaggio?
e per quanto riguarda il nucleo? è quello che ho scritto nel primo messaggio?
Il nucleo è ok!
Grazie mille per la disponibilità
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