Omomorfismi e matrici invertibili

[delca85]

Qualcuno mi spiega perchè le matrici invertibili 2x2 con entrate nel campo $ZZ_p$ con p primo,sono in corrispondenza biunivoca con gli isomorfismi definiti da $ZZ_p^2$ a $ZZ_p^2$?

[miuemia]

ciao...scusa ma a me non torna questa corrispondenza ad esempio per $p=2$ abbiamo che
$GL(2,ZZ_2)={((1,0),(0,1)),((1,1),(1,0)),((0,1),(1,1)),((1,0),(1,1)),((1,1),(0,1))}$ dove per $GL(2,ZZ_2)$ intendo le matrici invertibili di ordine $2$ a coefficienti in $ZZ_2$.
mentre un isomorfismo da $ZZ_2^2$ e $ZZ_2^2$ è definito quando so dove vanno i generatori ma in questo caso l'unico isomorfismo è quello che manda
$(1,1)->(1,1)$.
quindi in questo caso non sono in corrispondenza biunivoca i due insiemi.
sbaglio????

[delca85]

Ciao!Scusa se non ho più risposto!Credo di aver capito perchè ci sia questa corrispondenza.Definendo un isomorfismo,da $ZZ_p^2rarrZZ_p^2$,la matrice associata è quadrata ed invertibile e di taglia $pxp$,quindi dovrebbe funzionare il discorso.la dimensione di $ZZ_2^2$ è 2?Quindi non credo che sia quello che hai scritto tu l'unico isomorfismo possibile.

[miuemia]

e mi dici quali sono gli altri isomorfismi????

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"miuemia":quali sono gli altri isomorfismi????

Li ottieni mandando la base canonica in una base fissata. Per esempio un altro isomorfismo è quello che manda (1,0) in (1,1) e (0,1) in (0,1).

[delca85]

E' quello che penso anch'io.Praticamente il numero di isomorfismi lo ottieni considerando tutte le possibilità che hai di mandare una base canonica in una base fissata mantenendo iniettività e surgettività.O sbaglio?

[miuemia]

mhmh si può andare.