Omomorfismi composti e diagonalizzabilità

[nato_pigro1]

Ho che $f@g=g@f$, provare o confutare:

$f$ diagonalizzabile $<=>$ $g$ diagonalizzabile.

So quindi che le matrici associate commutano $F*G=G*F$ e che, se $F$ è diagonalizzabile, $G=F^(-1)*G*F$ ed esiste $P$ invertibile e $D$ diagonale tale che $F=P^(-1)*D*P$, però non mi riesce di concludere...

[rubik2]

"nato_pigro":Ho che $f@g=g@f$, provare o confutare:

$f$ diagonalizzabile $<=>$ $g$ diagonalizzabile.

So quindi che le matrici associate commutano $F*G=G*F$ e che, se $F$ è diagonalizzabile, $G=F^(-1)*G*F$ ed esiste $P$ invertibile e $D$ diagonale tale che $F=P^(-1)*D*P$, però non mi riesce di concludere...

non sai se $F$ è invertibile. infatti sia $F$ l'omomorfismo nullo e $G$ un qualunque omomorfismo non diagonalizzabile allora $FG=GF$ però $F$ è diagonalizzabile (è diagonale in effetti) e $G$ no

[nato_pigro1]

ah vero, quindi era semplicemente falso. grazie.

[rubik2]

Aggiungo che qualcosa si può dire nel caso di applicazioni lineari che commutano: sia $AB=BA$ e $v$ un autovettore di $A$ relativo all'autovalore $lambda$ allora $ABv=BAv=lambdaBv$ ovvero gli autospazi di $A$ sono invarianti per $B$.