Omologia relativa con disco e bordo
Ciao a tutti! Sto cercando di calcolare i gruppi di omologia singolare delle sfere: per fare ciò considero prima la successione esatta della coppia e faccio considerazioni su di essa.
Sia $D^n$ il disco n-dimensionale e $S^(n-1)=del D^n$ un suo sottospazio. Suppongo che i coefficienti siano in $ZZ$ senza scriverlo ogni volta
Considero la coppia $(D^n, S^(n-1))$ e quindi la seguente successione esatta:
$... rarr H_i(D^n) rarr H_i(D^n, S^(n-1)) rarr H_(i-1)(S^(n-1)) rarr H_(i-1)(D^n) rarr ...$
Ora quello che so è che, essendo il disco contraibile, ha la stessa omologia del punto che ha $H_i({p})=0$ se $i>0$ e $H_0({p}) ~= ZZ$.
Perciò nel caso in cui $i>1$ ho la seguente successione esatta:
$0 rarr H_i(D^n, S^(n-1)) rarr H_(i-1)(S^(n-1)) rarr 0$
che mi ha l'isomorfismo tra i due gruppi (per proprietà delle successioni esatte).
Adesso devo gestire il caso $i=1$. Ho la seguente:
$0 rarr H_1(D^n, S^(n-1)) rarr H_0(S^(n-1)) rarr H_0(D^n) rarr 0$
Quindi penso che ora si debba specificare anche il valore di $n$: se $n>1$ allora $S^(n-1)$ è connessa per archi e quindi $H_0(S^(n-1)) ~= ZZ$. Se invece $n=1$ allora ho due componenti connesse e perciò $H_0(S^0) ~= ZZ⊕ZZ$.
Cosa posso dire allora su $H_1(D^n, S^(n-1))$? (ammesso che sia corretto quello che ho sviluppato)
Sia $D^n$ il disco n-dimensionale e $S^(n-1)=del D^n$ un suo sottospazio. Suppongo che i coefficienti siano in $ZZ$ senza scriverlo ogni volta
Considero la coppia $(D^n, S^(n-1))$ e quindi la seguente successione esatta:
$... rarr H_i(D^n) rarr H_i(D^n, S^(n-1)) rarr H_(i-1)(S^(n-1)) rarr H_(i-1)(D^n) rarr ...$
Ora quello che so è che, essendo il disco contraibile, ha la stessa omologia del punto che ha $H_i({p})=0$ se $i>0$ e $H_0({p}) ~= ZZ$.
Perciò nel caso in cui $i>1$ ho la seguente successione esatta:
$0 rarr H_i(D^n, S^(n-1)) rarr H_(i-1)(S^(n-1)) rarr 0$
che mi ha l'isomorfismo tra i due gruppi (per proprietà delle successioni esatte).
Adesso devo gestire il caso $i=1$. Ho la seguente:
$0 rarr H_1(D^n, S^(n-1)) rarr H_0(S^(n-1)) rarr H_0(D^n) rarr 0$
Quindi penso che ora si debba specificare anche il valore di $n$: se $n>1$ allora $S^(n-1)$ è connessa per archi e quindi $H_0(S^(n-1)) ~= ZZ$. Se invece $n=1$ allora ho due componenti connesse e perciò $H_0(S^0) ~= ZZ⊕ZZ$.
Cosa posso dire allora su $H_1(D^n, S^(n-1))$? (ammesso che sia corretto quello che ho sviluppato)
Risposte
Vado a memoria: non dovresti usare l'invarianza per omotopìe applicandola a \(\displaystyle D^n\)?
Cosa posso dire allora su $H1(D^n,S^(n−1))$? (ammesso che sia corretto quello che ho sviluppato)
A una lettura veloce mi sembra che tu non abbia sbagliato niente. Ti manca di dire che $H1(D^n,S^(n−1))$ è il kernel della proiezione canonica da $ ZZ⊕ZZ $ a $ ZZ $, e dunque fa $ ZZ $.
Scusate se rispondo così in ritardo ma non ho avuto modo di farlo.
Quello che intendevo io era che sono in presenza, a seconda dei casi, delle due successioni esatte ( $H_0(D^n)~=ZZ $ essendo il disco connesso per archi) :
$ 0 rarr H_1(D^n, S^(n-1)) rarr ZZ rarr ZZ rarr 0 $ se $n>1$
$ 0 rarr H_1(D^n, S^(n-1)) rarr ZZ⊕ZZ rarr ZZ rarr 0 $ se $n=1$
però ora non so come concludere. Si deve usare qualche proprietà di "splitting"per determinare $H_1(D^n, S^(n-1)) $?
Quello che intendevo io era che sono in presenza, a seconda dei casi, delle due successioni esatte ( $H_0(D^n)~=ZZ $ essendo il disco connesso per archi) :
$ 0 rarr H_1(D^n, S^(n-1)) rarr ZZ rarr ZZ rarr 0 $ se $n>1$
$ 0 rarr H_1(D^n, S^(n-1)) rarr ZZ⊕ZZ rarr ZZ rarr 0 $ se $n=1$
però ora non so come concludere. Si deve usare qualche proprietà di "splitting"per determinare $H_1(D^n, S^(n-1)) $?
Sono entrambe successioni esatte corte, per cui...
Per cui non so
Ho fatto la domanda per questo. Detto in modo volgare, dalle successioni esatte corte di questo tipo dovrei avere un isomorfismo fra il terzo gruppo e il quoziente tra il secondo e il primo. Giusto o sbagliato? Se così fosse avrei quindi che $ H_1(D^n, S^(n-1))~=0$ se $n>1$ e $ H_1(D^n, S^(n-1))~=ZZ $ se $n=1$.
Ho fatto la domanda per questo. Detto in modo volgare, dalle successioni esatte corte di questo tipo dovrei avere un isomorfismo fra il terzo gruppo e il quoziente tra il secondo e il primo. Giusto o sbagliato? Se così fosse avrei quindi che $ H_1(D^n, S^(n-1))~=0$ se $n>1$ e $ H_1(D^n, S^(n-1))~=ZZ $ se $n=1$.
I risultati sono corretti, ma non ho capìto le affermazioni "volgari".
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