Omologia di un comignolo minimalista
Ciao 
, questo è uno dei primi esercizi dopo tanto abstract nonsense e handwaving.
(Esercizio) Sia \(C_1\) il cubo (pieno) di lato 2 con centro nell’origine di \(\mathbb R^3\), \(R := [−3, 3] \times \{−1\} \times [−1, 1]\), \(C_2\) l’unione dei quattro quadrati \([−1, 1] \times [1, 3] \times \{1\}\), \([−1, 1] \times [1, 3] \times \{−1\}\), \(\{1\} \times [1, 3] \times [−1, 1]\) e \(\{−1\} \times [1, 3] \times [−1, 1]\), \(L\) il segmento di estremi \((−1, 3, 1)\) e \((1, 3, −1)\) e sia \(X\) lo spazio “comignolo minimalista” ottenuto dall’unione \(C_1 \cup R \cup C_2 \cup L\) identificando poi il punto \((−3, −1, z)\) con il punto \((3, −1, z)\) al variare di \(z \in [−1, 1]\).
(1) Definire una struttura di CW-complesso su \(X\).
(2) Calcolare i gruppi di omologia di \(X\) a coefficienti interi.
(3) Determinare se esiste un’equivalenza omotopica tra \(X\) e lo spazio \(\mathbb S^1 \lor \mathbb S^2\) e, in caso positivo, descriverne una.
Visto che si raccomanda di non postare fotografie, vi descrivo lo spazio a parole. Ad un nastro cilindrico è attacato un cubo, sul quale si appoggiano sui bordi della faccia opposta quattro pareti quadrate; le pareti sono poste in modo da formare una superficie cubica senza la faccia dalla parte opposta al cubo; un segmento congiunge due estremi opposti di questa apertura.
Lo spazio come 0-celle i vertici del cubo e dei quadrati; come 1-celle gli spigoli cel cubo e dei quadrati, il segmento \(L\) e i due bordi del cilindro non identificati; come 2-celle le facce del cubo e i quadrati; l'unica 3-cella è il cubo.
[Si dice cella in italiano? Oppure cellula...]
Comunque sia, lo spazio ha lo stesso tipo di omotopia di \(\mathbb S^1 \lor \mathbb S^1\), attraverso alcuni retrazioni per deformazione. Quindi in questo caso \(H_n X \cong H_n \left(\mathbb S^1 \lor \mathbb S^1\right)\). Per il corollario 2.25 a pagina 126 (oppure 135), ho \[\widetilde H_n \left(\mathbb S^1 \lor \mathbb S^1\right)\cong \widetilde H_n \mathbb S^1 \oplus \widetilde H_n \mathbb S^1\] che è isomorfo a \(\mathbb Z \oplus \mathbb Z\) se \(n=1\), è banale altrimenti. Quindi lo 0-esimo gruppo di omologia è \(\mathbb Z\), il 1-esimo è \(\mathbb Z \oplus \mathbb Z\), dal 2-esimo in poi sono banali.
Per quanto riguarda, l'ultima domanda non c'è nessuna equivalenza omotopica visto che il primo gruppo di omologia di \(\mathbb S^1 \lor \mathbb S^2\) è \(\mathbb Z\) che non è isomorfo \(\mathbb Z \oplus \mathbb Z\).
È corretto?
, questo è uno dei primi esercizi dopo tanto abstract nonsense e handwaving.(Esercizio) Sia \(C_1\) il cubo (pieno) di lato 2 con centro nell’origine di \(\mathbb R^3\), \(R := [−3, 3] \times \{−1\} \times [−1, 1]\), \(C_2\) l’unione dei quattro quadrati \([−1, 1] \times [1, 3] \times \{1\}\), \([−1, 1] \times [1, 3] \times \{−1\}\), \(\{1\} \times [1, 3] \times [−1, 1]\) e \(\{−1\} \times [1, 3] \times [−1, 1]\), \(L\) il segmento di estremi \((−1, 3, 1)\) e \((1, 3, −1)\) e sia \(X\) lo spazio “comignolo minimalista” ottenuto dall’unione \(C_1 \cup R \cup C_2 \cup L\) identificando poi il punto \((−3, −1, z)\) con il punto \((3, −1, z)\) al variare di \(z \in [−1, 1]\).
(1) Definire una struttura di CW-complesso su \(X\).
(2) Calcolare i gruppi di omologia di \(X\) a coefficienti interi.
(3) Determinare se esiste un’equivalenza omotopica tra \(X\) e lo spazio \(\mathbb S^1 \lor \mathbb S^2\) e, in caso positivo, descriverne una.
Visto che si raccomanda di non postare fotografie, vi descrivo lo spazio a parole. Ad un nastro cilindrico è attacato un cubo, sul quale si appoggiano sui bordi della faccia opposta quattro pareti quadrate; le pareti sono poste in modo da formare una superficie cubica senza la faccia dalla parte opposta al cubo; un segmento congiunge due estremi opposti di questa apertura.
Lo spazio come 0-celle i vertici del cubo e dei quadrati; come 1-celle gli spigoli cel cubo e dei quadrati, il segmento \(L\) e i due bordi del cilindro non identificati; come 2-celle le facce del cubo e i quadrati; l'unica 3-cella è il cubo.
[Si dice cella in italiano? Oppure cellula...]
Comunque sia, lo spazio ha lo stesso tipo di omotopia di \(\mathbb S^1 \lor \mathbb S^1\), attraverso alcuni retrazioni per deformazione. Quindi in questo caso \(H_n X \cong H_n \left(\mathbb S^1 \lor \mathbb S^1\right)\). Per il corollario 2.25 a pagina 126 (oppure 135), ho \[\widetilde H_n \left(\mathbb S^1 \lor \mathbb S^1\right)\cong \widetilde H_n \mathbb S^1 \oplus \widetilde H_n \mathbb S^1\] che è isomorfo a \(\mathbb Z \oplus \mathbb Z\) se \(n=1\), è banale altrimenti. Quindi lo 0-esimo gruppo di omologia è \(\mathbb Z\), il 1-esimo è \(\mathbb Z \oplus \mathbb Z\), dal 2-esimo in poi sono banali.
Per quanto riguarda, l'ultima domanda non c'è nessuna equivalenza omotopica visto che il primo gruppo di omologia di \(\mathbb S^1 \lor \mathbb S^2\) è \(\mathbb Z\) che non è isomorfo \(\mathbb Z \oplus \mathbb Z\).
È corretto?
Risposte
No, ti prego, fai un disegno...
Ho aggiunto una immagine.
Ma il cubo rosso è pieno o vuoto?
Quello in rosso è il cubo pieno. In verde, ho cercato di rendere la facce quadrate. Attaccato al cubo dall'altra parte un nastro cilindrico.
Allora usando a ripetizione Il fatto che se $R$ è un sotto-CW-complesso contraibile di $X$ allora la mappa quoziente è un'equivalenza omotopica, puoi shrinkare a un punto tutte le parti contraibili del tuo spazio, quind ridurre a un punto il cubo pieno, e poi il cilindro retrae a un $S^1$ e l'altro pezzo del comignolo retrae a un altro $S^1$, e i due sono attaccati a un punto, quindi ecco lo spazio a cui tutto retrae, e poi sì, è giusto che \(S^1\vee S^2\) non è omotopo a sta roba (perché i gruppi di omologia sono diversi).
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